Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
em
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Vamos usar derivadas parciais para resolver isso, que é uma parte do cálculo que estuda como uma função muda em diferentes direções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral para a equação de um plano tangente a uma superfície
num ponto
. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
respectivamente. Essas derivadas nos dizem como
muda quando a gente varia
ou
isoladamente.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas parciais da função
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado
:
Passo 5
Também precisamos do valor de
, que é
:
Nota: Parece que há uma pequena confusão no ponto dado
, já que
calculado é
e não
. Mesmo assim, vamos continuar seguindo o enunciado.
Passo 6
Vamos aplicar tudo na fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto
é: