Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. f(x, y)=2 x^2+y^2-5 y em (1,2,4)

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Vamos usar derivadas parciais para resolver isso, que é uma parte do cálculo que estuda como uma função muda em diferentes direções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula geral para a equação de um plano tangente a uma superfície z - z0 = fx(x0, y0) (x - x0) + fy(x0, y0) (y - y0) num ponto . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e respectivamente. Essas derivadas nos dizem como muda quando a gente varia ou isoladamente.

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas parciais da função fx(x, y) = partialpartial x (2x^2 + y^2 - 5y) = 4x :
fy(x, y) = partialpartial y (2x^2 + y^2 - 5y) = 2y - 5

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto dado fx(1, 2) = 4 times 1 = 4 :
fy(1, 2) = 2 times 2 - 5 = 4 - 5 = -1

Passo 5

Também precisamos do valor de f(1, 2) = 2 times 1^2 + 2^2 - 5 times 2 = 2 + 4 - 10 = -4 , que é :
Nota: Parece que há uma pequena confusão no ponto dado , já que calculado é e não . Mesmo assim, vamos continuar seguindo o enunciado.

Passo 6

Vamos aplicar tudo na fórmula do plano tangente:
z - (-4) = 4(x - 1) -1(y - 2)
Simplificando:
z + 4 = 4x - 4 - y + 2
z + 4 = 4x - y - 2
z = 4x - y - 6

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto z = 4x - y - 6 é:

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