Qual é o ângulo \varphi entre \vec{a}=3,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}} e \vec{b}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}+4,0 \hat{\mathrm{k}} ? (Atenção: Muitos dos cálculos a seguir não são necessários quando se usa uma calculadora, mas o leitor aprenderá mais sobre produtos escalares se, pelo menos por enquanto, executá-los manualmente.)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \varphi entre os vetores \vec{a}=3,0\,\hat{\mathrm{i}}-4,0\,\hat{\mathrm{j}} e \vec{b}=-2,0\,\hat{\mathrm{i}}+4,0\,\hat{\mathrm{k}}.
O conteúdo necessário é produto escalar, norma de vetores e a fórmula
\cos\varphi = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.

Passo 2

O produto escalar em \mathbb{R}^3 é
\vec{a}\cdot\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z.
Como \vec{a}=(3,-4,0) e \vec{b}=(-2,0,4),
\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-2) + (-4)\cdot0 + 0\cdot4 = -6.

Passo 3

A norma de um vetor (x,y,z) é \sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Logo,
\|\vec{a}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 0^2} = 5,
\|\vec{b}\| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

Substituindo em \cos\varphi:
\cos\varphi = \frac{-6}{5 \cdot 2\sqrt{5}} = -\frac{6}{10\sqrt{5}} = -\frac{3}{5\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{5}}{25}.

Passo 5

O ângulo é
\varphi = \operatorname{arccos}\Bigl(-\frac{3}{5\sqrt{5}}\Bigr).
Numericamente, usando calculadora,
\varphi \approx 105,5^\circ.

Resposta

\displaystyle \varphi = \operatorname{arccos}\Bigl(-\frac{3}{5\sqrt{5}}\Bigr)\approx105,5^\circ.

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