Se \vec{a}=2 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}} e \vec{b}=-2 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}, determine \vec{c}=\vec{a} \times \vec{b}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores no plano: \vec{a}=2\,\hat{\mathrm{i}}-4\,\hat{\mathrm{j}} e \vec{b}=-2\,\hat{\mathrm{i}}+4\,\hat{\mathrm{j}},
e pede o produto vetorial \vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}.
Como o produto vetorial só está definido em \mathbb{R}^3, vamos tratar esses vetores como tendo componente z=0.

Passo 2

Escrevemos em forma de componentes em \mathbb{R}^3:
\vec{a}=(2,\,-4,\,0), \quad \vec{b}=(-2,\,4,\,0).

Passo 3

Usamos a definição por determinante:
\vec{a}\times\vec{b} =\begin{vmatrix} \hat{\mathrm{i}} & \hat{\mathrm{j}} & \hat{\mathrm{k}}\\\\ 2 & -4 & 0\\\\ -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} =\bigl(({-4})\cdot0-0\cdot4\bigr)\,\hat{\mathrm{i}} -\bigl(2\cdot0-0\cdot(-2)\bigr)\,\hat{\mathrm{j}} +\bigl(2\cdot4-(-4)\cdot(-2)\bigr)\,\hat{\mathrm{k}}.

Passo 4

Calculando cada componente:
- Componente \hat{\mathrm{i}}: (-4)\cdot0-0\cdot4=0.
- Componente \hat{\mathrm{j}}: 2\cdot0-0\cdot(-2)=0.
- Componente \hat{\mathrm{k}}: 2\cdot4-(-4)\cdot(-2)=8-8=0.
Logo, todos os componentes são zero.

Resposta

\vec{c}=\vec{a}\times\vec{b}=\mathbf{0}.

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