Considerando o conjunto V \subset \mathbb{R}^{2} com as operações de adição e multplicação por escalar abaixo. V=\{(x, y) \mid x, y \in x<0 e y<0\}
Adição =(A, B)+(a, b)=-(A a, A b)
Multiplicação por escalar =\alpha(A, B)=-\left(|A|^{\alpha},|B|^{\alpha}\right)
Verificar se a propriedade A4 é válida: u+(-u)=e \quad \forall u \in V [apresente quem é o vetor neutro aditivo do espaço V].
Passo 1
O enunciado define V = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x<0,\;y<0\}
com a operação de soma
(A,B)+(a,b)\;=\;-\bigl(A\,a,\;B\,b\bigr)\;=\;(-A a,\;-B b)
e pede para verificar a propriedade A4 de espaço vetorial, ou seja, mostrar que para todo u\in V existe um vetor “oposto” -u em V tal que
u+(-u)=e,
onde e é o vetor neutro aditivo. Vamos primeiro encontrar esse vetor neutro.
Passo 2
Para achar o neutro aditivo e=(e_1,e_2), exigimos que, para todo u=(A,B)\in V,
(A,B)+ (e_1,e_2)\;=\;(A,B).
Pela definição da soma isso dá
-(A\,e_1,\;B\,e_2)\;=\;(A,B).
Logo devemos ter
-A\,e_1 = A \quad\Longrightarrow\quad e_1 = -1,
-B\,e_2 = B \quad\Longrightarrow\quad e_2 = -1.
Portanto o neutro aditivo é
e = (-1,\,-1).
Passo 3
Agora achamos o “oposto” de um vetor genérico u=(A,B)\). Seja \(-u=(a,b)\). Queremos
\[(A,B)+ (a,b)\;=\;e = (-1,-1).
Pela soma isso equivale a
-(A\,a,\;B\,b)\;=\;(-1,-1) \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -A\,a = -1 \\\\ -B\,b = -1 \end{cases} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} a = \tfrac1A,\\\ b = \tfrac1B. \end{cases}
Como A<0\] e \(B<0, segue que a=1/A<0 e b=1/B<0, ou seja -u=(1/A,\,1/B) também está em V.
Passo 4
Verificamos então que, para todo u=(A,B)\in V,
u + (-u) = (A,B) + \bigl(\tfrac1A,\tfrac1B\bigr) = -\Bigl(A\cdot\tfrac1A,\;B\cdot\tfrac1B\Bigr) = -\bigl(1,1\bigr) = (-1,-1) = e.
Assim a propriedade A4 está satisfeita e o vetor neutro aditivo é realmente (-1,-1).