Os ângulos agudos a e b são tais que \operatorname{tg} a=1 / 2 e \operatorname{tg} b=1 / 3. Mostre que a+b=45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá dois ângulos agudos a e b tais que \tan a = \tfrac12 e \tan b = \tfrac13. O conteúdo que vamos usar é a fórmula da tangente da soma de dois ângulos:
\tan(a + b) \;=\;\frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a\,\tan b}.

Passo 2

Aplicando a fórmula de \tan(a+b) com \tan a = \tfrac12 e \tan b = \tfrac13, temos
\tan(a+b) =\frac{\tfrac12 + \tfrac13}{\,1 - \bigl(\tfrac12\cdot\tfrac13\bigr)} =\frac{\tfrac{3+2}{6}}{1 - \tfrac{1}{6}} =\frac{\tfrac{5}{6}}{\tfrac{5}{6}} =1.

Passo 3

Como a e b são agudos, a soma a+b também está em \bigl(0,90^\circ\bigr). O único ângulo agudo cuja tangente vale 1 é 45^\circ. Logo,
a + b = 45^\circ.

Resposta

a + b = 45^\circ.

Exercícios relacionados