Demonstre as identidades:
\frac{1}{1+\operatorname{tg} x \operatorname{tg} 2 x}=\cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{1}{1+\tan x\,\tan2x}=\cos2x.
O conteúdo usado será identidades trigonométricas, em particular a fórmula do ângulo duplo para a tangente e relações básicas entre seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Lembramos a identidade da tangente do ângulo duplo:
\tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}.

Passo 3

Substituímos essa expressão em 1+\tan x\,\tan2x:
1+\tan x\,\tan2x =1+\tan x\cdot\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} =\frac{1-\tan^2x+2\tan^2x}{1-\tan^2x} =\frac{1+\tan^2x}{1-\tan^2x}.
Como 1+\tan^2x=\operatorname{sec}^2x, segue
1+\tan x\,\tan2x=\frac{\operatorname{sec}^2x}{1-\tan^2x}.

Passo 4

Agora invertemos esse resultado e simplificamos:
\frac{1}{1+\tan x\,\tan2x} =\frac{1-\tan^2x}{\operatorname{sec}^2x} =(1-\tan^2x)\cos^2x =\cos^2x-\sin^2x =\cos2x.

Resposta

Dessa forma, ficou demonstrado que
\frac{1}{1+\tan x\,\tan2x}=\cos2x.

Exercícios relacionados