Os arcos a e b do primeiro quadrante são tais que \operatorname{sen} a=\frac{3}{5} e \operatorname{sen} b=\frac{12}{13}. Calcule \cos (a+b).

Passo 1

O enunciado nos diz que a e b são arcos no primeiro quadrante tais que \operatorname{sen} a=\tfrac{3}{5} e \operatorname{sen} b=\tfrac{12}{13}. O que precisamos usar aqui é a identidade pitagórica para encontrar os cossenos e depois a fórmula de soma de ângulos para o cosseno:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.

Passo 2

Como a e b estão no primeiro quadrante, seus cossenos são positivos. Usando a identidade \cos^2x+\operatorname{sen}^2x=1, temos:
\cos a = \sqrt{1-\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} =\sqrt{1-\tfrac{9}{25}} =\sqrt{\tfrac{16}{25}} =\tfrac{4}{5},
\cos b = \sqrt{1-\bigl(\tfrac{12}{13}\bigr)^2} =\sqrt{1-\tfrac{144}{169}} =\sqrt{\tfrac{25}{169}} =\tfrac{5}{13}.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de soma de ângulos:
\cos(a+b) =\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b =\Bigl(\tfrac{4}{5}\Bigr)\Bigl(\tfrac{5}{13}\Bigr) -\Bigl(\tfrac{3}{5}\Bigr)\Bigl(\tfrac{12}{13}\Bigr).

Passo 4

Basta simplificar:
\cos(a+b) =\frac{4\cdot5}{5\cdot13}-\frac{3\cdot12}{5\cdot13} =\frac{20}{65}-\frac{36}{65} =-\frac{16}{65}.

Resposta

-\tfrac{16}{65}

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