Se \operatorname{sen} a=1 / 3, calcule sen 2 a e \cos 2 a.

Passo 1

O enunciado dá \sin a = \tfrac{1}{3} e pede \sin 2a e \cos 2a. Vamos usar as fórmulas de ângulo duplo:
\sin 2a = 2\,\sin a\,\cos a
\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a
Para isso, primeiro precisamos achar \cos a a partir da identidade pitagórica.

Passo 2

Da identidade \sin^2 a + \cos^2 a = 1 temos
\cos^2 a = 1 - \sin^2 a = 1 - \Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)^2 = 1 - \tfrac{1}{9} = \tfrac{8}{9}.
Como normalmente se assume a no primeiro quadrante, \cos a é positivo, então
\cos a = \sqrt{\tfrac{8}{9}} = \tfrac{2\sqrt{2}}{3}.

Passo 3

Aplicando \sin 2a = 2\,\sin a\,\cos a, temos
\sin 2a = 2 \times \tfrac{1}{3} \times \tfrac{2\sqrt{2}}{3} = \tfrac{4\sqrt{2}}{9}.

Passo 4

Usando \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a, substituímos
\cos 2a = \tfrac{8}{9} - \tfrac{1}{9} = \tfrac{7}{9}.

Resposta

\displaystyle \sin 2a = \tfrac{4\sqrt{2}}{9},\quad \cos 2a = \tfrac{7}{9}.

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