Os ângulos alpha, beta e gamma são os ângulos diretores do vetor v.
1.60 Um vetor não nulo v forma com os eixos ox e oy os ângulos alpha=120^circ e beta=45^circ, respectivamente. Determine o ângulo entre v e o eixo o z.

Passo 1

O enunciado nos dá que alpha, beta e gamma são os ângulos diretores de um vetor não nulo v em relação aos eixos ox, oy e oz, respectivamente. As propriedades de ângulos diretores dizem que
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1
Precisamos usar essa relação para determinar gamma sabendo alpha=120^circ e beta=45^circ.

Passo 2

Calculamos cosalpha e cosbeta:
cosalpha = cos(120^circ) = -tfrac12, cosbeta = cos(45^circ) = tfracraiz22

Passo 3

Substituímos na identidade das diretrizes para obter cos^2gamma:
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1 Longrightarrow l(-tfrac12r)^2 + l(tfracraiz22r)^2 + cos^2gamma = 1
Isso dá
tfrac14 + tfrac12 + cos^2gamma = 1 Longrightarrow cos^2gamma = 1 - tfrac34 = tfrac14

Passo 4

Tirando raiz, temos
cosgamma = pmtfrac12
Como o ângulo entre vetor e eixo varia de 0^circ a 180^circ, as soluções são
gamma = 60^circ ou gamma = 120^circ
Na prática, o “ângulo entre o vetor e o eixo” costuma-se tomar o menor valor, isto é, gamma=60^circ.

Resposta

gamma = 60^circ.

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