Dos animais de uma fazenda, 60 \% são castrados. Se não for castrado, a probabilidade de ter tido um distúrbio hormonal é de 10 \%, enquanto que para os demais essa probabilidade aumenta para 30 \%. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade do animal escolhido ao acaso ter tido um distúrbio hormonal?
b) Se o animal sorteado tiver distúrbio hormonal, qual a probabilidade de não ser castrado?

Passo 1

O enunciado diz que em uma fazenda 60 % dos animais são castrados e 40 % não. Denotando
\,C =“animal é castrado” e \,\bar C =“animal não é castrado”, temos
P\text{(C)}=0,6,\quad P(\bar C)=0,4.
Além disso, a probabilidade de distúrbio hormonal D é
P(D\mid \bar C)=0,1 \quad\text{e}\quad P(D\mid C)=0,3.
Para responder (a) usamos o Teorema da Probabilidade Total e para (b) o Teorema de Bayes.

Passo 2

Calcular P(D) pelo Teorema da Probabilidade Total:
P(D)=P(D\mid C)\,P\text{(C)}+P(D\mid \bar C)\,P(\bar C).
Substituindo os valores:
P(D)=0,3\cdot0,6 + 0,1\cdot0,4 = 0,18 + 0,04 = 0,22.

Passo 3

Calcular P(\bar C\mid D) pelo Teorema de Bayes:
P(\bar C\mid D) =\frac{P(D\mid \bar C)\,P(\bar C)}{P(D)} =\frac{0,1\cdot0,4}{0,22} =\frac{0,04}{0,22} =\frac{2}{11}\approx0,1818.

Resposta

a) P(D)=0,22 (ou 22 %).
b) P(\bar C\mid D)=\tfrac{2}{11}\approx0,1818 (ou cerca de 18,18 %).

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