Um animal caminha pela selva e é acompanhado por um detector que indica sua localizaçăo através de um aparelho GPS O local onde o animal está é um ponto (x, y) e a temperatura ambiente neste local é T(x, y) (medida em graus Celsius). Sua posiçāo após t minutos é x(t)=4 t^{2}+3 t+6 e y(t)=6-t+t^{2}, em que x e y são medidos em metros. Se a funçăo temperatura satisfaz T_{x}(82,18)=8 e T_{y}(82,18)=8, determine a taxa de variaçăo da temperatura no caminho do animal após 4 minutos. (não mostrar cálculos):
Obs.: DICA REGRA DArCADEIA - Qs dados utilizados no problema são fictícios e podem nóo corresponder à realidade.
(A) 336^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
(B) 126^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
(C) 56^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
(D) 896^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}
(E) 616^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{min}

Passo 1

O enunciado dá a temperatura ambiente como uma função T(x,y) e a trajetória do animal parametrizada por
x(t)=4t^{2}+3t+6,\quad y(t)=6 - t + t^{2}.
Sabemos que
T_{x}(82,18)=8,\quad T_{y}(82,18)=8,
e queremos a taxa de variação de T ao longo do caminho no instante t=4. O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Pela Regra da Cadeia, a derivada total de T\bigl(x(t),y(t)\bigr) em relação a t é
\frac{dT}{dt} = T_{x}\,\frac{dx}{dt} \;+\; T_{y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 3

Vamos encontrar \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} em t=4:
\frac{dx}{dt}=8t+3 \quad\Longrightarrow\quad \left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=4}=8\cdot4+3=35,
\frac{dy}{dt}=-1+2t \quad\Longrightarrow\quad \left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=4}=-1+2\cdot4=7.

Passo 4

Substituindo T_{x}=8, T_{y}=8, \frac{dx}{dt}=35 e \frac{dy}{dt}=7 na fórmula da cadeia, obtemos
\left.\frac{dT}{dt}\right|_{t=4} =8\cdot35 + 8\cdot7 =8\,(35+7) =8\cdot42 =336.

Resposta

(A) 336^\circ\mathrm{C}/\mathrm{min}

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