Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) a função definida por \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\] e verifique se a funçāo \(f é contínua em (0,0).
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(c) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{E(x, y)}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} e verifique se f é diferenciável em (0,0) (Lembre-se que E(x, y)=
\left.f(x, y)-f(0,0)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) x-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) y\right)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Precisamos:
  1. Calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) e ver se f é contínua em (0,0).
  2. Calcular \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  3. Verificar diferenciabilidade em (0,0) avaliando
E(x,y)=f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)\,x-f_y(0,0)\,y
e estudando
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}.]

Passo 2

Para (a), use coordenadas polares: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(r,\theta) =\frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{\sqrt{r^2}} =\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} =r\cos\theta\sin\theta.
Como \bigl|\cos\theta\sin\theta\bigr|\le\frac12, temos
\bigl|f(r,\theta)\bigr|\le\frac r2\;\xrightarrow[r\to0]{}0.
Logo \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Como f(0,0)=0, f é contínua em (0,0).

Passo 3

Para (b), use a definição de derivada parcial em (0,0).
f_x(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
pois f(h,0)=\tfrac{h\cdot0}{\sqrt{h^2+0^2}}=0. De modo análogo,
f_y(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.

Passo 4

Para (c), temos f(0,0)=0 e f_x(0,0)=f_y(0,0)=0, logo
E(x,y)=f(x,y).
Então
\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{\frac{x\,y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{x\,y}{x^2+y^2}.
Analisando por caminhos diferentes:
  • Se y=x, \tfrac{xy}{x^2+y^2}=\tfrac{x^2}{2x^2}=\tfrac12.
  • Se y=-x, \tfrac{xy}{x^2+y^2}=-\tfrac12.
    Como os limites não coincidem (nem tendem a zero), \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} não existe (nem é zero).
    Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, logo f é contínua em (0,0).
(b) \displaystyle f_x(0,0)=0, \displaystyle f_y(0,0)=0.
(c) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} não existe; assim, f não é diferenciável em (0,0).

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