Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\) a função definida por
\[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\] e verifique se a funçāo \(f é contínua em (0,0).
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(c) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{E(x, y)}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)}} e verifique se f é diferenciável em (0,0) (Lembre-se que E(x, y)=
Se y=x, \tfrac{xy}{x^2+y^2}=\tfrac{x^2}{2x^2}=\tfrac12.
Se y=-x, \tfrac{xy}{x^2+y^2}=-\tfrac12.
Como os limites não coincidem (nem tendem a zero), \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} não existe (nem é zero).
Logo f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, logo f é contínua em (0,0).
(b) \displaystyle f_x(0,0)=0, \displaystyle f_y(0,0)=0.
(c) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{E(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} não existe; assim, f não é diferenciável em (0,0).