Teste a convergência ou divergência das séries: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln (n)};
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\,\ln(n)}.
Estamos diante de uma série alternante cuja termo geral em valor absoluto é \displaystyle a_{n} = \frac{1}{n\,\ln(n)}.
Vamos aplicar o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta usando o teste da integral.
Passo 2
Verificamos as duas condições do teste de Leibniz para \displaystyle a_{n} = \frac{1}{n\,\ln(n)}:
Limite nulo: \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}=0, pois n\,\ln(n)\to\infty.
Monotonicidade decrescente: considere a função contínua \displaystyle f(x)=\frac{1}{x\ln(x)} para x>1.
Seu derivada é
logo f é estritamente decrescente em (1,\infty) e, portanto, a_{n} decresce para n\ge2.
Passo 3
Pelas condições atendidas (termo geral tende a zero e é decrescente em módulo), o teste de Leibniz garante que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,\ln(n)}
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência absoluta, analisamos \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}/(n\ln n)\bigr|
= \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}.
Pelo teste da integral, consideramos