Teste a convergência ou divergência das séries:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln (n)};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência ou divergência da série
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n\,\ln(n)}.
Estamos diante de uma série alternante cuja termo geral em valor absoluto é
\displaystyle a_{n} = \frac{1}{n\,\ln(n)}.
Vamos aplicar o teste de Leibniz para séries alternantes e, em seguida, verificar a convergência absoluta usando o teste da integral.

Passo 2

Verificamos as duas condições do teste de Leibniz para
\displaystyle a_{n} = \frac{1}{n\,\ln(n)}:
  1. Limite nulo:
    \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}=0, pois n\,\ln(n)\to\infty.
  2. Monotonicidade decrescente: considere a função contínua
    \displaystyle f(x)=\frac{1}{x\ln(x)} para x>1.
    Seu derivada é
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}(\ln x)^{-1}\bigr) =-\frac{\ln(x)+1}{x^{2}[\ln(x)]^{2}}<0 \quad\text{para }x>1,
logo f é estritamente decrescente em (1,\infty) e, portanto, a_{n} decresce para n\ge2.

Passo 3

Pelas condições atendidas (termo geral tende a zero e é decrescente em módulo), o teste de Leibniz garante que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\,\ln(n)}
converge.

Passo 4

Para verificar a convergência absoluta, analisamos
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}/(n\ln n)\bigr| = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\,\ln(n)}.
Pelo teste da integral, consideramos
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\,\ln(x)} =\lim_{t\to\infty}\int_{2}^{t}\frac{dx}{x\,\ln(x)} =\lim_{t\to\infty}\bigl[\ln(\ln(x))\bigr]_{2}^{t} =\lim_{t\to\infty}\bigl(\ln(\ln t)-\ln(\ln2)\bigr) =\infty.
Como a integral diverge, a série de termos positivos
\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\,\ln(n)) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz e não converge absolutamente.

Exercícios relacionados