Anote sua data de nascimento d1 d2 / m1 m2 / a1 a2 a3 a4 e sejam v1, v2, v3, v4 in R^4 os vetores v1=(d1, d2, m1, m2), v2=(a1, a2, a3, a4), v3=(0,0,-2,0) e v4=(1,1,1,0). Por exemplo, se eu nasci em 20/01/1989, então v1=(2,0,0,1) e v2=(1,9,8,9).
Existe um vetor v in R^4 tal que lang<= v, v1rang<==-4,lang<= v, v2rang<==3,lang<= v, v3rang<==4 elang<= v, v4rang<==0?

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em R^4
v1=(d1,d2,m1,m2), v2=(a1,a2,a3,a4), v3=(0,0,-2,0), v4=(1,1,1,0)
e pede para encontrar v=(x1,x2,x3,x4) tal que
lang<= v,v1rang<==-4, lang<= v,v2rang<==3, lang<= v,v3rang<==4, lang<= v,v4rang<==0
O conteúdo aqui é resolução de um sistema linear de quatro equações em quatro incógnitas usando produto interno e eliminação.

Passo 2

Escrevendo as quatro equações em coordenadas, temos
d1x1+d2x2+m1x3+m2x4=-4,
a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=3,
0cdot x1+0cdot x2-2,x3+0cdot x4=4,
x1+x2+x3+0cdot x4=0

Passo 3

Da terceira equação
-2,x3=4Longrightarrow x3=-2,
e da quarta
x1+x2+x3=0Longrightarrow x1+x2= -,x3=2

Passo 4

Usamos x2=2-x1 e x3=-2 nas duas primeiras equações:
primeira vira
d1x1+d2(2-x1)+m1(-2)+m2x4=-4 ;Longrightarrow; (d1-d2)x1 + m2x4 = -4 -2d2 +2m1,
segunda vira
a1x1+a2(2-x1)+a3(-2)+a4x4=3 ;Longrightarrow; (a1-a2)x1 + a4x4 = 3 -2a2 +2a3
Assim reduzimos a um sistema 2times2 nas incógnitas x1,x4.

Passo 5

O sistema em
O determinante dessa matriz é
Se , . Se , o sistema ou não tem solução ou tem infinitas, dependendo da consistência dos termos constantes.

Resposta

Há vetor v satisfazendo todas as condições se, e somente se,
De<a=(d1-d2),a4 - (a1-a2),m2 neq 0
Nesse caso a solução é única e dada por
v=l(x1,;2-x1,;-2,;x4r)
com x1 e x4 conforme as fórmulas acima. Caso De<a=0, não existe (ou não é única) solução.

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