Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
S: P2(R) R a função dada por S(p(t))=integral0^1 p(t) d t.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Scolon P2(R) to R, Sl(p(t)r)=integral0^1p(t),dt
e pede: (i) mostrar que S é linear; (ii) determinar base e dimensão de ker S e de ImS; (iii) dizer se S é um isomorfismo. Para isso usaremos propriedade de integral linear, definição de núcleo e imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem.

Passo 2

Verificamos linearidade usando as propriedades da integral. Para quaisquer p,qin P2(R) e lambdainR:
S(p+q) =integral0^1l(p(t)+q(t)r),dt =integral0^1p(t),dt+integral0^1q(t),dt =S(p)+S(q),
S(lambda p) =integral0^1lambda,p(t),dt =lambdaintegral0^1p(t),dt =lambda,S(p)
Logo, S é linear.

Passo 3

Para achar o núcleo, escrevemos p(t)=a,t^2+b,t+c. Então
S(p)=integral0^1(a,t^2+b,t+c),dt =a3+b2+c
O núcleo é
ker S =lpcolon tfraca3+tfracb2+c=0r,
que é um subespaço de dimensão 2 (uma única equação linear entre a,b,c). Uma base conveniente é
,t-tfrac12,;t^2-tfrac13,
pois
integral0^1(t-tfrac12),dt=0,
integral0^1(t^2-tfrac13),dt=0
e esses polinômios são LI. Logo
dimker S=2.

Passo 4

A imagem de S é
ImS =,S(p):pin P2(R)subseteqR
Para qualquer yinR, basta escolher p(t)=y (polinômio constante) e então
integral0^1y,dt=y. Logo ImS=R, de dimensão 1, com base por exemplo 1.

Passo 5

O Teorema do Núcleo e Imagem diz que
dim P2(R)=dimker S+dimImS,
isto é 3=2+1, consistente com nossos cálculos. Como ker Sneq0, S não é injetora e, portanto, não é isomorfismo.

Resposta

Base de ker S: ,t-tfrac12,;t^2-tfrac13, dimker S=2.
Base de ImS: 1, dimImS=1.
S não é isomorfismo.

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