Em cada item a seguir: (i) verifique que a função dada é uma transformação linear; (ii) determine base e dimensão do núcleo e da imagem; (iii) decida se é um isomorfismo.
a função dada por
.
Passo 1
O enunciado define a aplicação
e pede: (i) mostrar que
é linear; (ii) determinar base e dimensão de
e de
; (iii) dizer se
é um isomorfismo. Para isso usaremos propriedade de integral linear, definição de núcleo e imagem e o Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Verificamos linearidade usando as propriedades da integral. Para quaisquer
e
:
Logo,
é linear.
Passo 3
Para achar o núcleo, escrevemos
. Então
O núcleo é
que é um subespaço de dimensão
(uma única equação linear entre
). Uma base conveniente é
pois
,
e esses polinômios são LI. Logo
.
e esses polinômios são LI. Logo
Passo 4
A imagem de
é
Para qualquer
, basta escolher
(polinômio constante) e então
. Logo
, de dimensão
, com base por exemplo
.
Passo 5
O Teorema do Núcleo e Imagem diz que
,
isto é , consistente com nossos cálculos. Como
,
não é injetora e, portanto, não é isomorfismo.
isto é
Resposta
Base de
:
,
.
Base de :
,
.
não é isomorfismo.
Base de