Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial V indicado e determine dim V.
V é o espaço das matrizes simétricas 2 times 2.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do espaço vetorial V formado pelas matrizes simétricas 2times2. Vamos usar a definição de matriz simétrica e expressar seu formato geral em termos de entradas livres.

Passo 2

Uma matriz Ain V satisfaz A^T = A. Escrevendo-a em termos das entradas, temos
A = a & b b & c ,
onde a,b,cinR são parâmetros livres, pois a simetria exige que a entrada (1,2) seja igual à (2,1).

Passo 3

Podemos decompor A como combinação linear de três matrizes:
E1 = 1&00&0, E2 = 0&11&0, E3 = 0&00&1,
pois
A = a,E1 + b,E2 + c,E3
As matrizes E1,E2,E3 são linearmente independentes e geram V, logo formam uma base.

Passo 4

O número de vetores na base é 3, portanto
dim V = 3

Resposta

Uma base de V é
, 1&00&0,; 0&11&0,; 0&00&1
e dim V = 3.

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