Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial
indicado e determine
.
é o espaço das matrizes simétricas
.
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do espaço vetorial
formado pelas matrizes simétricas
. Vamos usar a definição de matriz simétrica e expressar seu formato geral em termos de entradas livres.
Passo 2
Uma matriz
satisfaz
. Escrevendo-a em termos das entradas, temos
onde
são parâmetros livres, pois a simetria exige que a entrada
seja igual à
.
Passo 3
Podemos decompor
como combinação linear de três matrizes:
pois
As matrizes
são linearmente independentes e geram
, logo formam uma base.
Passo 4
O número de vetores na base é
, portanto
Resposta
Uma base de
é
e
.