Uma antena anel circular tem um raio médio de 1,2 cm e N espiras. Se ela opera a 80 MHz , encontre N para que a resistência de irradiação seja 8 Omega.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma antena anel circular com raio de 1,2 , cm e N espiras. Ela está operando a 80 MHz e queremos descobrir quantas espiras N são necessárias para que a resistência de irradiação seja 8 , Omega.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da resistência de irradiação de uma antena anel circular, que relaciona a frequência, o raio, e o número de espiras. Além disso, vamos precisar converter algumas unidades para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o raio de centímetros para metros, porque as fórmulas de física geralmente usam o Sistema Internacional de Unidades (SI).
r = 1,2 , cm = 0,012 , m

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da resistência de irradiação para uma antena anel circular:
Rrad = 20 pi^2 N^2 r^4 f^23 c^3
Onde:
  • $ R_{rad} $ é a resistência de irradiação,
  • $ N $ é o número de espiras,
  • $ r $ é o raio da antena,
  • $ f $ é a frequência de operação,
  • $ c $ é a velocidade da luz ( Rrad ).
Nossa meta é encontrar $ N $ quando $ R_{rad} = 8 , \Omega $.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para isolar $ N $:
N
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{3 c^3}{20 \pi^2 r^4 f^2} $:
Rrad = 20 pi^2 N^2 r^4 f^23 c^3
Então, tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
3 c^320 pi^2 r^4 f^2

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula:
  • $ R_{rad} = 8 , \Omega $
  • $ r = 0,012 , m $
  • $ f = 80 \times 10^6 , Hz $
  • $ c = 3 \times 10^8 , m/s $
Substituindo na equação:
Rrad = 8 , Omega

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculemos o numerador:
3 times (3 times 10^8)^3 times 8 = 3 times 27 times 10^24 times 8 = 3 times 27 times 8 times 10^24 = 648 times 10^24
Agora, o denominador:
20 pi^2 times (0,012)^4 times (80 times 10^6)^2
Calculando $ (0,012)^4 = 2.0736 \times 10^{-8} $
Calculando $ (80 \times 106)2 = 6.4 \times 10^{15} $
Então:
(0,012)^4 = 2.0736 times 10^-8
Primeiro, multiplicamos os números:
(80 times 10^6)^2 = 6.4 times 10^15
20 pi^2 times 2.0736 times 10^-8 times 6.4 times 10^15
20 times pi^2 approx 20 times 9.8696 = 197.392

Passo 7

Agora, juntando numerador e denominador:
N = raiz648 times 10^242.622 times 10^10
Dividindo as potências de 10:
648 times 10^242.622 times 10^10 = 247.44 times 10^14
E tirando a raiz quadrada:
N = raiz247.44 times 10^14 = raiz2.4744 times 10^16 approx 4.974 times 10^8

Resposta

Portanto, o número de espiras N necessário para que a resistência de irradiação seja 8 , Omega é aproximadamente 4,974 times 10^8 espiras.

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