Uma antena parabólica emite ondas eletromagnéticas no vácuo com intensidade média I= 0,4 \mathrm{~W} / \mathrm{m}_{2} no sentido oposto ao eixo Oy. O campo elétrico é paralelo ao eixo Ox. Em \mathrm{t}=0 e \mathrm{y}=0, o valor do campo elétrico é máximo e a frequência da onda é 3 MHz . Determinar:
a) O vetor de Poynting;
b) A equação do campo magnético;
c) O valor do campo magnético em y=100 \mathrm{~m} e t=10 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética plana no vácuo que se propaga no sentido oposto ao eixo Oy (isto é, em direção -\hat y), com intensidade média I=0,4\\ \mathrm{W/m^2}, campo elétrico paralelo a \hat x, e frequência f=3\\ \mathrm{MHz}. Em t=0 e y=0, E está no seu valor máximo. Vamos usar as relações de uma onda EM no vácuo:
– Intensidade média
I \;=\;\frac{E_0^2}{2\,\mu_0\,c}
– Relação entre amplitudes
B_0 \;=\;\frac{E_0}{c}
– Vetor de Poynting instantâneo
\mathbf{S}(y,t)\;=\;\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}
– Dependência espacial e temporal típica
\cos\bigl(\omega\,t + k\,y + \varphi\bigr),
com \omega=2\pi f e k=\omega/c.

Passo 2

Calcular as amplitudes E_0 e B_0:
E_0 \;=\;\sqrt{2\,I\,\mu_0\,c} =\sqrt{2\cdot0{,}4\cdot(4\pi\times10^{-7})\cdot3\times10^8} \approx10{,}0\\ \mathrm{V/m}.
Em seguida,
B_0 \;=\;\frac{E_0}{c} =\frac{10{,}0}{3\times10^8} \approx3{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.

Passo 3

Determinar o vetor de Poynting instantâneo. Como \mathbf{E}=E_0\cos(\omega t + k y)\,\hat x
e \mathbf{B}=B_0\cos(\omega t + k y)\,\hat z,
temos
\mathbf{S}(y,t) =\frac{1}{\mu_0}\,\bigl(E_0\cos(\omega t + k y)\,\hat x\bigr) \times\bigl(B_0\cos(\omega t + k y)\,\hat z\bigr).
Como \hat x\times\hat z=-\hat y, resulta
\mathbf{S}(y,t) =\frac{E_0\,B_0}{\mu_0}\,\cos^2(\omega t + k y)\,(-\hat y).
Usando E_0B_0/ \mu_0=E_0^2/(\mu_0 c)=2I, fica
\boxed{\mathbf{S}(y,t)=2\,I\;\cos^2\bigl(\omega t + k y\bigr)\;(-\hat y).}
A intensidade média (valor médio de \mathbf S) é \langle\mathbf S\rangle=I\,(-\hat y).

Passo 4

Escrever a equação do campo magnético. A fase em y=0, t=0 deve ser zero para dar E=E_0. Como a onda se propaga em -\hat y, a forma de fase é \omega t + k y. Logo
\boxed{\mathbf{B}(y,t) = B_0\cos\bigl(\omega t + k y\bigr)\,\hat z, \quad \omega=2\pi f,\quad k=\frac{\omega}{c}.}

Passo 5

Calcular \mathbf{B} em y=100\\ \mathrm m e t=10\\ \mathrm s. Primeiro note que
\omega=2\pi\cdot3\times10^6=6\pi\times10^6\\ \mathrm{rad/s}, \quad k=\frac{6\pi\times10^6}{3\times10^8}=0{,}02\pi\\ \mathrm{rad/m}.
A fase total é
\omega\,t + k\,y =6\pi\times10^6\cdot10 + 0{,}02\pi\cdot100 =60\pi\times10^6 + 2\pi \equiv2\pi\quad(\bmod\,2\pi),
portanto \cos(\omega t+k y)=1. Logo
\boxed{\mathbf{B}(100,10) =B_0\cdot1\;\hat z \approx3{,}3\times10^{-8}\,\hat z\\ \mathrm{T}.}

Resposta

a) \displaystyle \mathbf{S}(y,t)=2\,I\cos^2(\omega t + k y)\,(-\hat y), com média \langle\mathbf S\rangle=I\,(-\hat y).
b) \displaystyle \mathbf{B}(y,t)=B_0\cos(\omega t + k y)\,\hat z, onde B_0=3{,}3\times10^{-8}\\ \mathrm{T}.
c) \displaystyle \mathbf{B}(100\,\mathrm m,10\,\mathrm s)=3{,}3\times10^{-8}\,\hat z\\ \mathrm{T}.

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