O campo elétrico de uma onda plana uniforme que se propaga num meio dielétrico é dado por \vec{E}(t, z)=2 \cos \left(10^{8} t-z / \sqrt{3}\right) \hat{\mathbf{x}}-\sin \left(10^{8} t-z / \sqrt{3}\right) \hat{\mathbf{y}} \quad(\mathrm{V} / \mathrm{m})
a) Determine a frequência e o comprimento de onda.
b) Calcule a constante dielétrica do meio.
c) Obtenha o campo magnético desta onda.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana uniforme que se propaga na direção z num meio dielétrico:
\vec{E}(t,z) =2\cos\bigl(10^{8}t - \tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} -\sin\bigl(10^{8}t - \tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{\mathbf{y}} \quad(\mathrm{V/m}).
Pede-se:
a) frequência f e comprimento de onda \lambda.
b) constante dielétrica do meio (isto é, \varepsilon_r).
c) campo magnético da onda.
Para resolver, vamos identificar a velocidade de fase, a constante de propagação e usar as relações de uma onda eletromagnética em meio não magnético \mu=\mu_0.

Passo 2

Extraímos da fase \omega t - \beta z que
\omega = 10^{8}\\ (\mathrm{rad/s}), \qquad \beta = \frac{1}{\sqrt{3}}\\ (\mathrm{rad/m}).
Logo, a frequência é
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{10^{8}}{2\pi} \approx 1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{Hz},
e o comprimento de onda é
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} = 2\pi\sqrt{3} \approx 10{,}88\\ \mathrm{m}.

Passo 3

A velocidade de fase vale
v = \frac{\omega}{\beta} = \frac{10^{8}}{1/\sqrt{3}} = 10^{8}\,\sqrt{3} \approx 1{,}732\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Como v = c/\sqrt{\varepsilon_r}, com c=3\times10^8\\ \mathrm{m/s}, temos
\sqrt{\varepsilon_r} = \frac{c}{v} = \frac{3\times10^8}{1{,}732\times10^8} \approx 1{,}732,
portanto
\varepsilon_r = (1{,}732)^2 = 3.

Passo 4

O campo magnético de uma onda plana vem de
\vec{H} = \frac{1}{\eta}\,\hat{\mathbf{k}}\times\vec{E},
onde \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{z}} e a impedância do meio é
\eta = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0\,\varepsilon_r}} = \frac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_r}} = \frac{377}{\sqrt{3}} \approx 217{,}7\\ \Omega.
Calculando \hat{\mathbf{z}}\times\vec{E}:
\hat{\mathbf{z}}\times \bigl(2\cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}} -\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}}\bigr) = 2\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}} -(-\sin\varphi)\,\hat{\mathbf{x}} = 2\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}} +\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}},
onde \varphi=10^8t - z/\sqrt{3}. Logo
\vec{H}(t,z) = \frac{1}{217{,}7} \Bigl(\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}} +2\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}}\Bigr) \quad(\mathrm{A/m}).
E, se quiser o campo \vec{B}=\mu_0\vec{H}, basta multiplicar por \mu_0.

Resposta

a) f = \dfrac{10^{8}}{2\pi}\approx1{,}59\times10^{7}\\ \mathrm{Hz}, \lambda = 2\pi\sqrt{3}\approx10{,}88\\ \mathrm{m}.
b) \displaystyle\varepsilon_r = 3.
c)
\vec{H}(t,z) = \frac{1}{217{,}7} \Bigl[\sin\bigl(10^{8}t - \tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{\mathbf{x}} +2\cos\bigl(10^{8}t - \tfrac{z}{\sqrt{3}}\bigr)\,\hat{\mathbf{y}}\Bigr] \quad(\mathrm{A/m}).

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