Uma onda electromagnética possui um campo eléctrico dado por:
\vec{E}(y, t)=-3,10 \cdot 10^{5} \operatorname{sen}\left(k y-2,65 \cdot 10^{12} t\right) \hat{k}
a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando?
b) Qual é o comprimento de onda?
c) Escreva a equação vetorial para B.
d) Escreva a equação do vetor de Poynting

Passo 1

O enunciado dá a onda plana no vácuo cujo campo elétrico é
\vec{E}(y,t) = -3,10\cdot10^{5}\,\operatorname{sen}\bigl(k\,y - 2,65\cdot10^{12}\,t\bigr)\,\hat{k}
e pede:
a) direção e sentido de propagação,
b) comprimento de onda,
c) expressão vetorial de \vec{B},
d) expressão vetorial do vetor de Poynting \vec{S}.
Para resolver vamos usar que, no vácuo, ondas eletromagnéticas satisfazem
  1. relação de dispersão \omega = c\,k,
  2. \vec{E}\perp\vec{B}\perp\hat{n} e \vec{B}=(1/c)\,\hat{n}\times\vec{E},
  3. \vec{S}=(1/\mu_{0})\,\vec{E}\times\vec{B}.

Passo 2

O argumento da seno é k\,y - \omega\,t com \omega=2,65\cdot10^{12}. Esse formato \bigl(k\,y - \omega\,t\bigr) indica propagação no sentido de aumento de y, ou seja, na direção +\hat{\jmath}.

Passo 3

Usamos \omega = c\,k com c=3,00\cdot10^{8}\,\mathrm{m/s}.
k = \frac{\omega}{c} = \frac{2,65\cdot10^{12}}{3,00\cdot10^{8}} = 8,83\cdot10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}.
O comprimento de onda é
\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{8,83\cdot10^{3}} \approx 7,11\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}.

Passo 4

A direção de propagação é \hat{n}=+\hat{\jmath}. Em ondas no vácuo vale
\vec{B} = \frac{1}{c}\,\hat{n}\times\vec{E}.
Como \vec{E}=-E_{0}\,\operatorname{sen}(\dots)\,\hat{k} com E_{0}=3,10\cdot10^{5} e \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}, temos
\vec{B}(y,t) = \frac{1}{3,00\cdot10^{8}} \;\hat{\jmath}\times\bigl[-E_{0}\,\operatorname{sen}(k\,y-\omega\,t)\,\hat{k}\bigr] = -\frac{E_{0}}{c}\,\operatorname{sen}\bigl(k\,y-\omega\,t\bigr)\,\hat{\imath}.
Numericamente,
B_{0}=\frac{E_{0}}{c} =\frac{3,10\cdot10^{5}}{3,00\cdot10^{8}} =1,03\cdot10^{-3}\,\mathrm{T},
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\vec{B}(y,t) = -1,03\cdot10^{-3}\,\operatorname{sen}\bigl(k\,y - 2,65\cdot10^{12}\,t\bigr)\,\hat{\imath}.

Passo 5

O vetor de Poynting é
\vec{S} = \frac{1}{\mu_{0}}\,\vec{E}\times\vec{B}.
Como \vec{E} e \vec{B} têm o mesmo argumento, \vec{E}\times\vec{B} fica
\vec{E}\times\vec{B} = \bigl[-E_{0}\operatorname{sen}(\theta)\hat{k}\bigr] \times\bigl[-B_{0}\operatorname{sen}(\theta)\hat{\imath}\bigr] = E_{0}B_{0}\,\operatorname{sen}^{2}(\theta)\,\bigl(\hat{k}\times\hat{\imath}\bigr) = E_{0}B_{0}\,\operatorname{sen}^{2}(\theta)\,\hat{\jmath},
onde \theta=k\,y-\omega\,t. Substituindo B_{0}=E_{0}/c,
\vec{S}(y,t) = \frac{E_{0}^{2}}{\mu_{0}\,c}\,\operatorname{sen}^{2}\bigl(k\,y-\omega\,t\bigr)\,\hat{\jmath}.

Resposta

a) A onda se propaga na direção +\hat{\jmath}.
b) \lambda = 7,11\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}.
c) \displaystyle \vec{B}(y,t) = -1,03\cdot10^{-3}\,\operatorname{sen}\bigl(k\,y - 2,65\cdot10^{12}\,t\bigr)\,\hat{\imath}.
d) \displaystyle \vec{S}(y,t) = \frac{(3,10\cdot10^{5})^{2}}{\mu_{0}\,3,00\cdot10^{8}}\;\operatorname{sen}^{2}\bigl(k\,y - 2,65\cdot10^{12}\,t\bigr)\,\hat{\jmath}.

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