À frequência de 2.45 GHz a que opera um forno de micro-ondas, os parâmetros eletromagnéticos de um certo tipo de alimento são \sigma=2.17 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=47 \varepsilon 0 e \mu=\mu 0. Determine os parâmetros de propagação \alpha (constante de atenuação), \beta (constante de fase), \lambda (comprimento de onda), V f (velocidade de fase) e \eta (impedância intrínseca complexa do meio).

Passo 1

O enunciado dá um meio com frequência de operação f=2{,}45\;\mathrm{GHz}, condutividade \sigma=2{,}17\;\mathrm{S/m}, permissividade \varepsilon=47\,\varepsilon_0 e permeabilidade \mu=\mu_0.
O conteúdo é a propagação de onda eletromagnética em meio dielétrico condutor (meio “lossy”), em que usamos as fórmulas da constante de propagação
\gamma = \alpha + j\beta = \sqrt{\,j\omega\mu\bigl(\sigma + j\omega\varepsilon\bigr)\,}
e da impedância intrínseca
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}}\,.
Precisamos de \alpha, \beta, \lambda, V_f e \eta.

Passo 2

Calculemos primeiro \omega, j\omega\mu e \sigma + j\omega\varepsilon:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2{,}45\times10^9 \approx 1{,}539\times10^{10}\;\mathrm{rad/s},
j\omega\mu = j\,(1{,}539\times10^{10})\,\mu_0 = j\,(1{,}539\times10^{10})\,(4\pi\times10^{-7}) \approx j\,1{,}935\times10^4,
\sigma + j\omega\varepsilon = 2{,}17 + j\,\bigl(1{,}539\times10^{10}\bigr)\,(47\,\varepsilon_0) \approx 2{,}17 + j\,6{,}406\quad(\mathrm{S/m}).

Passo 3

Formemos o produto interno e extraímos \alpha e \beta:
j\omega\mu\,(\sigma + j\omega\varepsilon) \approx -1{,}2395\times10^5 + j\,4{,}1959\times10^4.
Chamando este número de Re + j\,Im, sua raiz quadrada em forma polar dá \gamma = \sqrt{r}\,e^{j\theta/2} com \sqrt{r}\approx361{,}7 e \theta/2\approx80{,}65^\circ.
Logo
\alpha = 361{,}7\cos(80{,}65^\circ)\approx59{,}4\;\mathrm{Np/m}, \quad \beta = 361{,}7\sin(80{,}65^\circ)\approx356{,}8\;\mathrm{rad/m}.

Passo 4

O comprimento de onda no meio e a velocidade de fase são
\lambda = \frac{2\pi}{\beta} \approx \frac{6{,}283}{356{,}8} \approx0{,}01762\;\mathrm{m}, \qquad V_f = \frac{\omega}{\beta} \approx \frac{1{,}539\times10^{10}}{356{,}8} \approx4{,}31\times10^7\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Para a impedância intrínseca
\eta = \sqrt{\frac{j\omega\mu}{\sigma + j\omega\varepsilon}} \approx 52{,}9 + j\,8{,}7\;\Omega,
ou em módulo e fase \lvert\eta\rvert\approx53{,}5\;\Omega, \arg\eta\approx9{,}4^\circ.

Resposta

\displaystyle \alpha\approx59{,}4\;\mathrm{Np/m},\quad \beta\approx356{,}8\;\mathrm{rad/m},\quad \lambda\approx0{,}01762\;\mathrm{m},\quad V_f\approx4{,}31\times10^7\;\mathrm{m/s},\quad \eta\approx(52{,}9 + j\,8{,}7)\;\Omega.

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