Um anteparo é separado de uma fenda dupla por L=4,8 \mathrm{~m} e a distância entre as duas fendas é d=0,03 \mathrm{~mm}. Uma fonte monocromática é enviada em direção à fenda e a primeira franja escura é observada à 4,5 \mathrm{~cm} do centro do anteparo.
(a) Calcule o comprimento de onda \lambda.
(b) Calcule a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
L=4,8\\ \text{m}
d=0,03\\ \text{mm}=3\times 10^{-5}\\ \text{m}
\text{primeira franja escura a }y=4,5\\ \text{cm}=0,045\\ \text{m}
Perguntas:
(a) Calcular o comprimento de onda \lambda.
(b) Calcular a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes (espaçamento entre máximos).

Passo 2

Entendendo o fenômeno (relembre comigo, passo a passo, sem pressa). Em uma fenda dupla, as franjas de interferência aparecem porque ondas vindas das duas fendas se somam com diferença de caminho. As condições principais são:
  • Para máximos (franjas brilhantes) a condição é
d\sin\theta = m\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
onde:
  • d é a separação entre as fendas,
  • \theta é o ângulo medido a partir do centro (reta perpendicular ao anteparo),
  • m é a ordem do máximo (0 é o máximo central),
  • \lambda é o comprimento de onda.
  • Para mínimos (franjas escuras) a condição é
d\sin\theta = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
A primeira franja escura em relação ao centro corresponde a m=0 nessa fórmula.

Passo 3

Ligando o ângulo \theta à posição y no anteparo: a posição vertical y (distância do centro até a franja) está relacionada com \theta por
\tan\theta = \frac{y}{L}.
Como aqui as franjas estão bem próximas do centro e y\ll L, podemos usar a aproximação de pequeno ângulo:
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{y}{L}.
Essa aproximação é válida quando \theta é pequeno (razoável quando y/L é pequeno), e simplifica muito os cálculos na prova.

Passo 4

Usamos a condição para a primeira franja escura ( m=0 na condição dos mínimos):
d\sin\theta = \left(0+\tfrac{1}{2}\right)\lambda = \frac{\lambda}{2}.
Substituindo \sin\theta\approx \dfrac{y}{L}, obtemos
d\frac{y}{L} = \frac{\lambda}{2}.
Isolando \lambda:
\lambda = 2d\frac{y}{L}.

Passo 5

Agora calculamos numericamente \lambda usando os valores dados:
Primeiro calcule o numerador:
2d\,y = 2\cdot\left(3\times10^{-5}\right)\cdot 0,045 = 2,7\times10^{-6}\\ \text{m}.
Agora divida por L:
\lambda = \frac{2,7\times10^{-6}}{4,8} = 5,625\times10^{-7}\\ \text{m}.
Convertendo para nanômetros ( 1\\ \text{nm}=10^{-9}\\ \text{m}):
\lambda = 562,5\\ \text{nm}.
Arredondando razoavelmente para dois algarismos significativos, fica \lambda\approx 5,6\times10^{-7}\\ \text{m}=560\\ \text{nm}. (Você pode reportar 562,5\\ \text{nm} se preferir maior precisão.)

Passo 6

Agora a distância entre dois máximos adjacentes (espaçamento entre franjas brilhantes) — chamaremos de \beta — é dada pela fórmula padrão (obtida a partir da condição dos máximos e da aproximação de pequeno ângulo):
\beta = \frac{\lambda L}{d}.
Vou usar o valor calculado de \lambda=5,625\times10^{-7}\\ \text{m} para maior consistência numérica.

Passo 7

Calcule \beta numericamente:
Primeiro \lambda L:
\lambda L = \left(5,625\times10^{-7}\right)\cdot 4,8 = 2,7\times10^{-6}\\ \text{m}.
Agora divida por d:
\beta = \frac{2,7\times10^{-6}}{3\times10^{-5}} = 0,09\\ \text{m} = 9\\ \text{cm}.
Portanto, o espaçamento entre máximos adjacentes é 9\\ \text{cm} usando os valores calculados.

Passo 8

Resumo rápido e um empurrão final: a lógica foi usar a condição do primeiro mínimo para obter \lambda (pela metade de um lambda de diferença de caminho) e depois aplicar a fórmula do espaçamento \beta=\lambda L/d. Se estiver tenso para a prova, decora estas duas fórmulas e pratique um ou dois cálculos parecidos — você chega lá!

Resposta

(a) \lambda \approx 5,6\times10^{-7}\\ \text{m} = 560\\ \text{nm}
(b) \beta = 0,09\\ \text{m} = 9\\ \text{cm}

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