Uma fonte de luz emite 2 comprimentos de onda:
e
.
(a) Encontre a distância
entre as franjas brilhantes de terceira ordem para
.
(b) Em quais posições do anteparo as franjas brilhantes se sobrepoem? A aproximação de pequenos ângulos ainda é válida?
(a) Encontre a distância
(b) Em quais posições do anteparo as franjas brilhantes se sobrepoem? A aproximação de pequenos ângulos ainda é válida?
Passo 1
O enunciado dá: a fonte emite dois comprimentos de onda
e
. A distância fonte-anteparo é
(interpreto “1,5 me” como
). A separação entre as fendas é
. Perguntas:
- (a) Calcular a distância
entre as franjas brilhantes de terceira ordem ( ) para e . - (b) Em quais posições do anteparo as franjas brilhantes se sobrepõem? A aproximação de pequenos ângulos ainda é válida nesses pontos?
Dados numéricos convertidos para o SI (vou usar isso nos cálculos):
Passo 2
Conceito físico e fórmula fundamental (explicadinha passo a passo):
- Para um arranjo de duas fendas, a condição exata para máximos (franjas brilhantes) é que a diferença de caminho entre os dois feixes seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
onde
é a separação das fendas,
é o ângulo medido a partir da normal ao anteparo até a direção do máximo, e
é a ordem do máximo (
).
- A posição na tela (na direção
medida a partir do centro) está relacionada com por
Isso é exato geométrico: no triângulo formado, a tangente dá essa relação.
- Juntando as duas expressões, a posição exata do máximo de ordem
é
- Para ângulos pequenos (
pequeno, em radianos), usamos a aproximação . Então
Vou usar a forma aproximada quando justificável (ou seja, quando
); caso contrário uso a expressão exata.
Passo 3
Resolver (a) — expressão algébrica e plano de cálculo:
- Para as franjas de terceira ordem
, usando a aproximação de pequenos ângulos (verificarei em seguida se é válida), as posições são
- A diferença pedida é
Agora vou calcular numericamente cada termo com cuidado nas contas.
Passo 4
Cálculo numérico de (a) detalhado:
- Diferença de comprimentos de onda:
- Aplicando a fórmula:
Faço as contas passo a passo:
Portanto
- Verificação da validade da aproximação de pequenos ângulos para
:
Esse valor é
, logo
é uma boa aproximação. Em radianos
. Então a fórmula aproximada usada acima é válida para (a).
Passo 5
Resolver (b) — condição de sobreposição de franjas e busca das posições:
- Para que uma franja brilhante de ordem
(do comprimento de onda ) se sobreponha a uma franja brilhante de ordem (do comprimento de onda ), ambas devem corresponder ao mesmo ângulo . A condição exata é:
- Isso implica
Como
é uma fração irredutível (43 é primo e não divide 51), os menores inteiros positivos que satisfazem a igualdade são
Em geral haverá sobreposição quando
e
para
.
Passo 6
Calcular as posições no anteparo (usar fórmula exata porque aqui
é grande):
- Para
(primeira sobreposição não-trivial positiva), uso a condição exata com . Então
Isso já mostra que
é bastante grande (próximo de 0,88).
- A posição exata no anteparo é
Uma forma prática de calcular sem usar diretamente ângulos é:
- Substituindo os valores:
- Portanto a primeira sobreposição (para
) ocorre nas posições
(no anteparo aparecem as posições simétricas positiva e negativa). Para
teremos
, e assim por diante (multiplicando por
). Note que usei a fórmula exata porque
não é pequeno.
Passo 7
Validade da aproximação de pequenos ângulos para as posições de sobreposição:
- Para
encontramos , então . Esse ângulo é muito grande; a aproximação (válida para em radianos muito pequenos) não é válida aqui. De fato, se alguém usasse a aproximação pequena obteria , que é bem diferente do valor exato . - Conclusão: a aproximação de pequenos ângulos é válida para o item (a) (terceira ordem), mas NÃO é válida nas posições de sobreposição encontradas no item (b).
Resposta
(a)
\n
(b) As franjas se sobrepõem quando , ou seja
. A primeira sobreposição (k=1) ocorre em
(próximas:
). A aproximação de pequenos ângulos é válida em (a) (sim), mas não é válida nas posições de sobreposição de (b) (não).
(b) As franjas se sobrepõem quando