Uma fonte de luz emite 2 comprimentos de onda: \lambda=430 \mathrm{~nm} e \lambda^{\prime}=510 \mathrm{~nm} . L=1,5 \mathrm{me} d=0,025 \mathrm{~mm}.
(a) Encontre a distância \Delta y=y_{c}^{\prime}-y_{c} entre as franjas brilhantes de terceira ordem para \lambda \mathrm{e} \lambda^{\prime}.
(b) Em quais posições do anteparo as franjas brilhantes se sobrepoem? A aproximação de pequenos ângulos ainda é válida?

Passo 1

O enunciado dá: a fonte emite dois comprimentos de onda \lambda=430\\ \mathrm{nm} e \lambda'=510\\ \mathrm{nm}. A distância fonte-anteparo é L=1{,}5\\ \mathrm{m} (interpreto “1,5 me” como 1{,}5\\ \mathrm{m}). A separação entre as fendas é d=0{,}025\\ \mathrm{mm}. Perguntas:
  1. (a) Calcular a distância \Delta y = y_c' - y_c entre as franjas brilhantes de terceira ordem ( m=3) para \lambda e \lambda'.
  2. (b) Em quais posições do anteparo as franjas brilhantes se sobrepõem? A aproximação de pequenos ângulos ainda é válida nesses pontos?
Dados numéricos convertidos para o SI (vou usar isso nos cálculos):
\lambda = 430\times10^{-9}\\ \mathrm{m},\qquad \lambda' = 510\times10^{-9}\\ \mathrm{m},
L = 1{,}5\\ \mathrm{m},\qquad d = 0{,}025\\ \mathrm{mm} = 2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito físico e fórmula fundamental (explicadinha passo a passo):
  • Para um arranjo de duas fendas, a condição exata para máximos (franjas brilhantes) é que a diferença de caminho entre os dois feixes seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda:
d\sin\theta = m\lambda,
onde d é a separação das fendas, \theta é o ângulo medido a partir da normal ao anteparo até a direção do máximo, e m\in\mathbb{Z} é a ordem do máximo ( m=0,\pm1,\pm2,\dots).
  • A posição na tela (na direção y medida a partir do centro) está relacionada com \theta por
y = L\tan\theta.
Isso é exato geométrico: no triângulo formado, a tangente dá essa relação.
  • Juntando as duas expressões, a posição exata do máximo de ordem m é
y_m = L\tan\big(\arcsin\big(\tfrac{m\lambda}{d}\big)\big).
  • Para ângulos pequenos ( \theta pequeno, em radianos), usamos a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta. Então
y_m \approx L\frac{m\lambda}{d}.
Vou usar a forma aproximada quando justificável (ou seja, quando \tfrac{m\lambda}{d}\ll1); caso contrário uso a expressão exata.

Passo 3

Resolver (a) — expressão algébrica e plano de cálculo:
  • Para as franjas de terceira ordem m=3, usando a aproximação de pequenos ângulos (verificarei em seguida se é válida), as posições são
y_3 \approx L\frac{3\lambda}{d},\qquad y_3' \approx L\frac{3\lambda'}{d}.
  • A diferença pedida é
\Delta y = y_3' - y_3 \approx 3L\frac{\lambda' - \lambda}{d}.
Agora vou calcular numericamente cada termo com cuidado nas contas.

Passo 4

Cálculo numérico de (a) detalhado:
  • Diferença de comprimentos de onda:
\lambda' - \lambda = (510 - 430)\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 80\times10^{-9}\\ \mathrm{m}.
  • Aplicando a fórmula:
\Delta y \approx 3 \cdot L \cdot \frac{\lambda' - \lambda}{d} = 3\cdot 1{,}5\cdot\frac{80\times10^{-9}}{2{,}5\times10^{-5}}\\ \mathrm{m}.
Faço as contas passo a passo:
3\cdot 1{,}5 = 4{,}5,
4{,}5\cdot 80\times10^{-9} = 360\times10^{-9} = 3{,}60\times10^{-7},
\frac{3{,}60\times10^{-7}}{2{,}5\times10^{-5}} = \frac{3{,}60}{2{,}5}\times10^{-7+5} = 1{,}44\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
Portanto
\Delta y \approx 1{,}44\times10^{-2}\\ \mathrm{m} = 1{,}44\\ \mathrm{cm}.
  • Verificação da validade da aproximação de pequenos ângulos para m=3:
\frac{m\lambda}{d} = \frac{3\cdot 430\times10^{-9}}{2{,}5\times10^{-5}} = \frac{1290\times10^{-9}}{2{,}5\times10^{-5}} \approx 0{,}0516.
Esse valor é \ll 1, logo \sin\theta\approx\theta\approx\tan\theta é uma boa aproximação. Em radianos \theta\approx 0{,}0516\\ \mathrm{rad}\approx 2{,}96^\circ. Então a fórmula aproximada usada acima é válida para (a).

Passo 5

Resolver (b) — condição de sobreposição de franjas e busca das posições:
  • Para que uma franja brilhante de ordem m (do comprimento de onda \lambda) se sobreponha a uma franja brilhante de ordem m' (do comprimento de onda \lambda'), ambas devem corresponder ao mesmo ângulo \theta. A condição exata é:
d\sin\theta = m\lambda \quad\text{e}\quad d\sin\theta = m'\lambda' \quad\Rightarrow\quad m\lambda = m'\lambda'.
  • Isso implica
\frac{m}{m'} = \frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{510}{430} = \frac{51}{43}.
Como \tfrac{51}{43} é uma fração irredutível (43 é primo e não divide 51), os menores inteiros positivos que satisfazem a igualdade são
m = 51,\qquad m' = 43.
Em geral haverá sobreposição quando m=51k e m'=43k para k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Calcular as posições no anteparo (usar fórmula exata porque aqui m\lambda/d é grande):
  • Para k=1 (primeira sobreposição não-trivial positiva), uso a condição exata \sin\theta = \dfrac{m\lambda}{d} com m=51. Então
\sin\theta = \frac{51\cdot 430\times10^{-9}}{2{,}5\times10^{-5}} = 0{,}8772\\ \text{(aprox.)}.
Isso já mostra que \sin\theta é bastante grande (próximo de 0,88).
  • A posição exata no anteparo é
y = L\tan\theta = L\tan\big(\arcsin\big(\tfrac{51\lambda}{d}\big)\big).
Uma forma prática de calcular sem usar diretamente ângulos é:
y = L\frac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}} = L\frac{m\lambda/d}{\sqrt{1-(m\lambda/d)^2}}.
  • Substituindo os valores:
\frac{m\lambda}{d} = 0{,}8772,\qquad \sqrt{1-(m\lambda/d)^2} = \sqrt{1-0{,}8772^2} \approx 0{,}4801.
y = 1{,}5\cdot\frac{0{,}8772}{0{,}4801} \approx 1{,}5\cdot 1{,}827 \approx 2{,}74\\ \mathrm{m}.
  • Portanto a primeira sobreposição (para k=1) ocorre nas posições
y \approx \pm 2{,}74\\ \mathrm{m}
(no anteparo aparecem as posições simétricas positiva e negativa). Para k=2 teremos \pm 5{,}48\\ \mathrm{m}, e assim por diante (multiplicando por k). Note que usei a fórmula exata porque m\lambda/d não é pequeno.

Passo 7

Validade da aproximação de pequenos ângulos para as posições de sobreposição:
  • Para m=51 encontramos \sin\theta\approx 0{,}8772, então \theta\approx\arcsin(0{,}8772)\approx 61{,}5^\circ. Esse ângulo é muito grande; a aproximação \sin\theta\approx\tan\theta\approx\theta (válida para \theta em radianos muito pequenos) não é válida aqui. De fato, se alguém usasse a aproximação pequena obteria y\approx L\cdot(51\lambda/d)\approx 1{,}316\\ \mathrm{m}, que é bem diferente do valor exato 2{,}74\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: a aproximação de pequenos ângulos é válida para o item (a) (terceira ordem), mas NÃO é válida nas posições de sobreposição encontradas no item (b).

Resposta

(a) \Delta y \approx 1{,}44\times10^{-2}\\ \mathrm{m}=1{,}44\\ \mathrm{cm}.\n
(b) As franjas se sobrepõem quando \dfrac{m}{m'}=\dfrac{51}{43}, ou seja m=51k,\\ m'=43k. A primeira sobreposição (k=1) ocorre em \;y\approx\pm 2{,}74\\ \mathrm{m} (próximas: \pm 5{,}48\\ \mathrm{m},\\ \dots). A aproximação de pequenos ângulos é válida em (a) (sim), mas não é válida nas posições de sobreposição de (b) (não).

Exercícios relacionados