Antes de começar o exercício liste as cinco séries de potências das funções mais conhecidas dando seus respectivos raios de convergência (por exemplo: sen x, cos x, e^x, ln (1+x), etc). Utilize esses fatos para escrever a série de McLaurin das funções abaixo, escrevendo seus respectivos raios de convergência.
a) f(x)=3+7 x^4-x^5
b) f(x)=ln (1+2 x)
c) f(x)=x1-x^3
d) f(x)=x e^x^2
e) f(x)=x^2 sen x
f) f(x)=e^x^2-1x
g) f(x)=cos x-1x^2
h) f(x)=(1+x^2) cos x
i) f(x)=sen xx
j) f(x)=e^x^2-x

Passo 1

O enunciado pede para escrever a série de Maclaurin das funções dadas, usando como base as séries conhecidas de algumas funções elementares. O conteúdo aqui é expansão em série de potências e seus raios de convergência.

Passo 2

As cinco séries de potências mais usadas e seus raios de convergência são:
e^x ;=;sumn=0^inftyx^nn!, R=infty
sin x ;=;sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!, R=infty
cos x ;=;sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!, R=infty
11-x ;=;sumn=0^inftyx^n, R=1
ln(1+x) ;=;sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn, R=1

Passo 3

Para f(x)=3+7x^4 - x^5 vemos que já é um polinômio. Logo, sua série de Maclaurin é ele mesmo e o raio de convergência é infinito:
f(x)=3+7x^4 - x^5, R=infty

Passo 4

Para f(x)=ln(1+2x) usamos a série de ln(1+u) com u=2x:
ln(1+2x)=sumn=1^infty(-1)^n-1(2x)^nn =sumn=1^infty(-1)^n-12^nx^nn, |2x|<1implies R=tfrac12

Passo 5

Para f(x)=x1-x^3 usamos 11-u=sumn=0^infty u^n com u=x^3:
x1-x^3 =xsumn=0^inftyx^3n =sumn=0^inftyx^3n+1, |x^3|<1implies R=1

Passo 6

Para f(x)=x e^x^2 escrevemos e^x^2=sumn=0^inftyx^2nn!:
x e^x^2 =xsumn=0^inftyx^2nn! =sumn=0^inftyx^2n+1n!, R=infty

Passo 7

Para f(x)=x^2sin x usamos sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!:
x^2sin x =x^2sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty(-1)^nx^2n+3(2n+1)!, R=infty

Passo 8

Para f(x)=e^x^2-1x usamos e^x^2=sumn=0^inftyx^2nn!:
e^x^2-1x =sumn=0^inftyx^2nn!-1x =sumn=1^inftyx^2n-1n!, R=infty

Passo 9

Para f(x)=cos x-1x^2 usamos cos x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!:
cos x-1x^2 =sumn=1^infty(-1)^nx^2n(2n)!x^2 =sumn=1^infty(-1)^nx^2n-2(2n)! =summ=0^infty(-1)^m+1x^2m(2m+2)!, R=infty

Passo 10

Para f(x)=(1+x^2)cos x expandimos cos x e multiplicamos:
(1+x^2)cos x =cos x + x^2cos x =sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)! +sumn=0^infty(-1)^nx^2n+2(2n)!, R=infty

Passo 11

Para f(x)=sin xx usamos sin x=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+1(2n+1)!:
sin xx =sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!, R=infty

Passo 12

Para f(x)=e^x^2-x escrevemos
e^x^2-x =sumn=0^inftyx^2nn!-x =1 + x^2 + x^42! + x^63! + cdots - x, R=infty

Resposta

(a) 3+7x^4 - x^5,;R=infty
(b) sumn=1^infty(-1)^n-12^nx^nn,;R=tfrac12
(c) sumn=0^inftyx^3n+1,;R=1
(d) sumn=0^inftyx^2n+1n!,;R=infty
(e) sumn=0^infty(-1)^nx^2n+3(2n+1)!,;R=infty
(f) sumn=1^inftyx^2n-1n!,;R=infty
(g) summ=0^infty(-1)^m+1x^2m(2m+2)!,;R=infty
(h) sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n)!+sumn=0^infty(-1)^nx^2n+2(2n)!,;R=infty
(i) sumn=0^infty(-1)^nx^2n(2n+1)!,;R=infty
(j) 1 + x^2 + x^42! + x^63! + cdots - x,;R=infty

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