Calcule as integrais a seguir usando substituições trigonométricas:
integral0^5 raizx^2+25 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^5raizx^2+25,dx
usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral envolve expressão da forma raizx^2+a^2, e a substituição típica é x=atantheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 5tantheta, dx = 5sec^2!theta,dtheta, raizx^2+25 = raiz25tan^2!theta + 25 = 5sectheta
Quando x=0 temos tantheta=0Rightarrow theta=0. Quando x=5 temos tantheta=1Rightarrow theta=pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral:
integral0^5raizx^2+25,dx = integral0^pi/4 l(5secthetar)l(5sec^2!theta,dthetar) =25integral0^pi/4sec^3!theta,dtheta
Para integrar sec^3!theta usamos a primitiva conhecida:
integral sec^3!theta,dtheta =tfrac12l(secthetatantheta + lnlvertsectheta+tanthetarvertr)

Passo 4

Aplicando a primitiva com os limites:
25integral0^pi/4sec^3!theta,dtheta = 252l[secthetatantheta + lnl(sectheta+tanthetar)r]0^pi/4
Em theta=pi/4 temos sectheta=raiz2, tantheta=1, e em theta=0 ambos dão zero no colchete. Logo
252l(raiz2 + ln(raiz2+1)r)

Resposta

integral0^5raizx^2+25,dx = 25raiz22 + 252lnl(raiz2+1r)

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