Calcule as integrais a seguir por substituição trigonométrica:
integral x^3(x^2+9)^3 / 2 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3(x^2+9)^3/2,dx
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a clássica troca
x=3tantheta
para tratar expressões do tipo raizx^2+9.

Passo 2

Fazendo
x=3tantheta Longrightarrow dx=3sec^2theta,dtheta,
além de
x^2+9=9tan^2theta+9=9sec^2theta Longrightarrow (x^2+9)^3/2=(9sec^2theta)^3/2=27sec^3theta

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral x^3(x^2+9)^3/2,dx =integral (3tantheta)^327sec^3theta;l(3sec^2theta,dthetar) =3integral tan^3thetasectheta,dtheta =3integral tan^3thetacostheta,dtheta
Como tan^3thetacostheta=dfracsin^3thetacos^2theta, a integral vira
3integral sin^3thetacos^2theta,dtheta

Passo 4

Escrevendo sin^3theta=sintheta,(1-cos^2theta), temos
3integral l(sinthetacos^2theta-sinthetar)dtheta =3l(integral sinthetacos^2theta,dtheta -integral sintheta,dthetar)
Para integral sinthetacos^2theta,dtheta use u=costheta, du=-sintheta,dtheta e obtenha sectheta. E
integral sintheta,dtheta=-costheta.
Logo a antiderivada em theta é
3l(sectheta+costhetar)+C

Passo 5

Retornando a x: de tantheta=tfracx3 segue
sectheta=raizx^2+93 e
costheta=3raizx^2+9.
Substituindo em 3(sectheta+costheta)
raizx^2+9+9raizx^2+9

Resposta

integral x^3(x^2+9)^3/2,dx = raizx^2+9 + 9raizx^2+9 + C

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