a) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais conhecidas, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo:
(a) f(x)=sen xx
(b) f(x)=e^x-1x
(c) f(x)=sen x-xx^3
(d) f(x)=ln (x+1)-1x
(e) f(x)=cos x-1x^2
i) Com as séries encontradas na parte i) diga, SEM EFETUAR o cálculo do limite, quais os valores de:
(a) lim x 0 sen xx
(b) lim x 0 e^x-1x
(c) lim x 0 sen x-xx^3
(d) lim x 0 ln (x+1)-1x
(e) lim x 0 cos x-1x^2
ii) Use o item i) para determinar f^(3)(0), sem efetuar cálculo algum.

Passo 1

O enunciado pede primeiro as séries de Maclaurin de
(a) f(x)=sin xx,
(b) f(x)=e^x-1x,
(c) f(x)=sin x - xx^3,
(d) f(x)=ln(1+x)-1x,
(e) f(x)=cos x - 1x^2.
Em seguida, sem calcular limites diretamente, usar cada série para obter
limxto0 dos mesmos cinco quocientes.
Por fim, usar a série de uma delas para determinar f^(3)(0).
Para isso vamos usar as séries conhecidas de
sin x, cos x, e^x e ln(1+x) em torno de 0.

Passo 2

As expansões padrão são:
sin x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! = x - x^36 + x^5120 - cdots,
cos x = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)! = 1 - x^22 + x^424 - cdots,
e^x = sumn=0^infty x^nn! = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + cdots,
ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^,n-1x^nn = x - x^22 + x^33 - x^44 + cdots

Passo 3

Para f(x)=dfracsin xx dividimos a série de sin x por x:
sin xx = x - x^36 + x^5120 - cdotsx = 1 - x^26 + x^4120 - cdots

Passo 4

Para f(x)=dfrace^x-1x subtraímos 1 em e^x e dividimos por x:
e^x-1x = l(1 + x + x^22 + x^36 + cdotsr)-1x = 1 + x2 + x^26 + x^324 + cdots

Passo 5

Para f(x)=dfracsin x - xx^3 substituímos sin x e agrupamos:
sin x - x = l(x - x^36 + x^5120 - cdotsr)-x = -x^36 + x^5120 - cdots,
sin x - xx^3 = -16 + x^2120 - cdots

Passo 6

Para f(x)=dfracln(1+x)-1x
ln(1+x)-1 = l(x - tfracx^22 + tfracx^33 -cdotsr)-1,
logo
ln(1+x)-1x = -1x + 1 - x2 + x^23 - x^34 + cdots
(observe que aparece termo -1/x, ou seja, é série de Laurent).

Passo 7

Para f(x)=dfraccos x - 1x^2 usamos cos x -1 = -tfracx^22+tfracx^424-cdots, então
cos x -1x^2 = -12 + x^224 - x^4720 + cdots

Passo 8

Os limites xto0 de cada quociente são dados pelo termo constante de cada expansão (termo de ordem x^0), sem cálculo direto:
(a) limxto0sin xx=1.
(b) limxto0e^x-1x=1.
(c) limxto0sin x - xx^3=-16.
(d) limxto0ln(1+x)-1x não existe (diverge pelo termo -1/x).
(e) limxto0cos x -1x^2=-12.

Passo 9

Para determinar f^(3)(0) sem cálculo, usamos a série de Maclaurin
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n.
Escolhendo por exemplo
f(x)=e^x-1x=1+x2+x^26+x^324+cdots,
vemos que o coeficiente de x^3 é tfrac124=tfracf^(3)(0)3!.
Logo
f^(3)(0)=3!,124 = 6cdot124=14

Resposta

Séries de Maclaurin:
(a) sin xx=1-x^26+x^4120-cdots
(b) e^x-1x=1+x2+x^26+x^324+cdots
(c) sin x - xx^3=-16+x^2120-cdots
(d) ln(1+x)-1x=-1x+1-x2+x^23-cdots
(e) cos x -1x^2=-12+x^224-cdots
Limites sem cálculo direto:
(a) 1, (b) 1, (c) -tfrac16, (d) diverge, (e) -tfrac12.
Terceira derivada em zero de f(x)=e^x-1x:
f^(3)(0)=14

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