a) Com base nas séries de Maclaurin das funções mais conhecidas, e de suas propriedades, escreva a série de Maclaurin das funções abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
i) Com as séries encontradas na parte i) diga, SEM EFETUAR o cálculo do limite, quais os valores de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ii) Use o item i) para determinar
, sem efetuar cálculo algum.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
i) Com as séries encontradas na parte i) diga, SEM EFETUAR o cálculo do limite, quais os valores de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
ii) Use o item i) para determinar
Passo 1
O enunciado pede primeiro as séries de Maclaurin de
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) ,
(e) .
Em seguida, sem calcular limites diretamente, usar cada série para obter
dos mesmos cinco quocientes.
Por fim, usar a série de uma delas para determinar .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Em seguida, sem calcular limites diretamente, usar cada série para obter
Por fim, usar a série de uma delas para determinar
Para isso vamos usar as séries conhecidas de
,
,
e
em torno de
.
Passo 2
As expansões padrão são:
Passo 3
Para
dividimos a série de
por
:
Passo 4
Para
subtraímos 1 em
e dividimos por
:
Passo 5
Para
substituímos
e agrupamos:
Passo 6
Para
,
logo
logo
(observe que aparece termo
, ou seja, é série de Laurent).
Passo 7
Para
usamos
, então
Passo 8
Os limites
de cada quociente são dados pelo termo constante de cada expansão (termo de ordem
), sem cálculo direto:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) não existe (diverge pelo termo
).
(e) .
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 9
Para determinar
sem cálculo, usamos a série de Maclaurin
.
Escolhendo por exemplo
vemos que o coeficiente de é
.
Logo
Escolhendo por exemplo
vemos que o coeficiente de
Logo
Resposta
Séries de Maclaurin:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Limites sem cálculo direto:
(a) , (b)
, (c)
, (d) diverge, (e)
.
(a)
Terceira derivada em zero de
: