Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial de 30 pessoas revelou 18 a favor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um município com 30.000 habitantes e quer saber qual a probabilidade de um eleitor estar a favor do candidato do nosso partido. Para isso, a gente pegou uma amostra inicial de 30 pessoas e descobriu que 18 delas estão a favor. Vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente da estimação de proporção, para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a fração de pessoas na amostra que estão a favor do candidato. A proporção amostral $ \hat{p} $ é dada por:
p úá
Isso significa que 60% das pessoas na amostra estão a favor.

Passo 3

Agora, vamos querer saber qual é a probabilidade real no todo a população. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança para a proporção verdadeira $ p $. Vamos assumir um nível de confiança de 95%, que é padrão nessas análises.

Passo 4

Para calcular o intervalo de confiança, primeiro precisamos do erro padrão da proporção, que mede a variabilidade da nossa estimativa. A fórmula do erro padrão $ E $ é:
E
Onde:
  • $ \hat{p} = 0,6 $
  • $ n = 30 $
Então,
E = raizp(1 - p)n

Passo 5

Com o erro padrão calculado, usamos o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança, que é aproximadamente 1,96. O intervalo de confiança é dado por:
p pm Z times E
Plugando os valores:
0,6 pm 1,96 times 0,0894
Calculando:
0,6 pm 0,175
Isso resulta em:
[0,425; 0,775]

Resposta

A probabilidade de eleitores favoráveis ao candidato está entre 42,5% e 77,5% com 95% de confiança.

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