Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial de 30 pessoas revelou 18 a favor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um município com 30.000 habitantes e quer saber qual a probabilidade de um eleitor estar a favor do candidato do nosso partido. Para isso, a gente pegou uma amostra inicial de 30 pessoas e descobriu que 18 delas estão a favor. Vamos usar conceitos de estatística, mais especificamente da estimação de proporção, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a proporção amostral, que é a fração de pessoas na amostra que estão a favor do candidato. A proporção amostral $ \hat{p} $ é dada por:
Isso significa que 60% das pessoas na amostra estão a favor.
Passo 3
Agora, vamos querer saber qual é a probabilidade real no todo a população. Para isso, vamos construir um intervalo de confiança para a proporção verdadeira $ p $. Vamos assumir um nível de confiança de 95%, que é padrão nessas análises.
Passo 4
Para calcular o intervalo de confiança, primeiro precisamos do erro padrão da proporção, que mede a variabilidade da nossa estimativa. A fórmula do erro padrão $ E $ é:
Onde:
- $ \hat{p} = 0,6 $
- $ n = 30 $
Então,
Passo 5
Com o erro padrão calculado, usamos o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança, que é aproximadamente 1,96. O intervalo de confiança é dado por:
Plugando os valores:
Calculando:
Isso resulta em:
Resposta
A probabilidade de eleitores favoráveis ao candidato está entre 42,5% e 77,5% com 95% de confiança.