Para X com distribuição normal de média 100 e desvio padrão 20 obtenha: P(|X-E(X)|<10)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular a probabilidade de que a variável $ X $, que segue uma distribuição normal com média $ E(X) = 100 $ e desvio padrão $ \sigma = 20 $, esteja a menos de 10 unidades da média. Ou seja, queremos encontrar $ \mathrm{P}(|X - E(X)| < 10) $. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ \mathrm{P}(|X - E(X)| < 10) $. Essa expressão quer dizer a probabilidade de $ X $ estar entre 90 e 110, já que $ 100 - 10 = 90 $ e $ 100 + 10 = 110 $. Então, estamos procurando $ \mathrm{P}(90 < X < 110) $.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos padronizar a variável $ X $. A padronização transforma $ X $ em uma variável $ Z $ que segue uma distribuição normal padrão com média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronizar é:
X
onde $ \mu = 100 $ e $ \sigma = 20 $.

Passo 4

Vamos aplicar a padronização para os valores 90 e 110:
Para $ X = 90 $:
X = 90
Para $ X = 110 $:
Z1 = 90 - 10020 = -1020 = -0,5

Passo 5

Agora, queremos encontrar $ \mathrm{P}(-0,5 < Z < 0,5) $. Essa é a probabilidade de $ Z $ estar entre -0,5 e 0,5 na distribuição normal padrão. Podemos usar a tabela da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar esses valores.

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos:
P(Z < 0,5) approx 0,6915
P(Z < -0,5) approx 0,3085
Então, a probabilidade de $ Z $ estar entre -0,5 e 0,5 é:
Z

Resposta

A probabilidade de $ X $ estar a menos de 10 unidades da média é aproximadamente 38,3%.

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