Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a probabilidade de eleitores favoráveis ao seu candidato em um município de 30000 habitantes. Uma amostra inicial de 30 pessoas revelou 18 a favor. Se na amostra que foi calculada em (23.1) obteve-se 0,25 favoráveis ao candidato, faça intervalo de confiança de 0,98 para a proporção.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão fala sobre como estimar a probabilidade de eleitores que são a favor do candidato de um partido em um município com 30.000 habitantes. Para isso, usamos uma amostra de 30 pessoas, das quais 18 são a favor. Já sabemos que a proporção na amostra é 0,25. Nosso objetivo é calcular o intervalo de confiança de 98% para essa proporção. Vamos precisar entender um pouco sobre intervalos de confiança e como calcular para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um intervalo de confiança. Basicamente, é uma faixa de valores que, com um certo nível de confiança (nesse caso, 98%), contém o verdadeiro valor da proporção da população. Para calcular isso, usamos a fórmula:
p pm z times raizp(1 - p)n
Onde:
  • p é a proporção da amostra (0,25),
  • z é o valor crítico correspondente ao nível de confiança,
  • n é o tamanho da amostra (30).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o valor de z que corresponde a um nível de confiança de 98%. Como o intervalo de confiança é simétrico, vamos dividir o nível de confiança entre os dois lados da distribuição normal. Ou seja, cada cauda terá 1% (porque 100% - 98% = 2%, dividido por 2 dá 1%).
Consultando uma tabela de valores z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor de z para 98% de confiança é aproximadamente 2,326.

Passo 4

Com todos os valores em mãos, vamos agora substituir na fórmula:
0,25 pm 2,326 times raiz0,25 times (1 - 0,25)30
Primeiro, calculamos o erro padrão:
raiz0,25 times 0,7530 = raiz0,187530 = raiz0,00625 = 0,0791

Passo 5

Agora, multiplicamos o valor de z pelo erro padrão:
2,326 times 0,0791 approx 0,1839

Passo 6

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança:
0,25 - 0,1839 = 0,0661
0,25 + 0,1839 = 0,4339

Resposta

O intervalo de confiança de 98% para a proporção de eleitores a favor do candidato é aproximadamente de 0,066 a 0,434.

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