(indicado como 14 no vídeo de resolução de exercícios) Considere um estudo no qual se deseja estimar a proporção de solicitações atendidas e resolvidas de uma central do usuário através de uma amostra aleatória simples.
Para este mesmo tamanho de amostra, qual seria a confiança associada a uma margem de erro de \pm 0.01 (1%)?

Passo 1

O que o exercício pede: para o mesmo tamanho de amostra já usado antes, determinar qual a confiança (nível de confiança) associada a uma margem de erro de \pm 0{,}01 (ou 1\%).
Informações relevantes (retiradas do enunciado implícito): o problema fala em “mesmo tamanho de amostra” — vou usar o tamanho de amostra normalmente obtido em exercícios clássicos desse tema, que é n=2401. Esse n vem da escolha conservadora \,p=0{,}5, margem anterior E=0{,}02 e nível de confiança 95\% (resultado habitual n=\dfrac{1{,}96^{2}\cdot 0{,}5(1-0{,}5)}{0{,}02^{2}}=2401).
Também vou assumir a suposição conservadora padrão p=0{,}5 (maximiza a variância) porque, ao planejar amostras para proporções, essa escolha é a prática comum quando o valor real de p é desconhecido.

Passo 2

Fórmula que relaciona margem de erro, nível de confiança e tamanho de amostra para proporções (amostra aleatória simples, aproximação normal):
E = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • E é a margem de erro desejada (aqui E=0{,}01).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão correspondente à cauda de probabilidade \alpha/2; o nível de confiança é 1-\alpha.
  • p é a proporção populacional (aqui usamos p=0{,}5 por ser conservador).
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=2401).
    Como queremos achar o nível de confiança (equivalente a achar z_{\alpha/2}), isolamos z_{\alpha/2}:
z_{\alpha/2} = \frac{E}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}.

Passo 3

Calcular o denominador com os valores escolhidos. Primeiro p(1-p)=0{,}5(1-0{,}5)=0{,}25.
Então
\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}25}{2401}}.
Uma forma prática de simplificar é notar que \sqrt{0{,}25}=0{,}5 e \sqrt{2401}=49. Logo
\sqrt{\frac{0{,}25}{2401}}=\frac{0{,}5}{49}=\frac{1}{98}\approx 0{,}01020408163.

Passo 4

Agora calcule z_{\alpha/2}:
z_{\alpha/2}=\frac{E}{\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}}=\frac{0{,}01}{1/98}=0{,}01\cdot 98=0{,}98.
Portanto o quantil da normal padrão necessário é z=0{,}98.

Passo 5

Converter z=0{,}98 em nível de confiança. A probabilidade central associada a \pm z é
\text{confiança} = 2\Phi(z)-1,ç
onde \Phi(z) é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Pelo valor tabelado (ou calculadora), \Phi(0{,}98)\approx 0{,}8365. Então
\text{confiança} = 2\cdot 0{,}8365 - 1 = 0{,}6730 \approx 67{,}30\%.ç

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: com o mesmo tamanho de amostra de n=2401, reduzir a margem de erro de 2\% para 1\% sem mudar n reduz dramaticamente a confiança — aqui para aproximadamente 67{,}3\%. Ou seja, você ficaria menos “confiável” apesar da margem menor; para manter alta confiança ao mesmo tempo que diminui E é preciso aumentar n. Força aí — é normal ver esse trade‑off em estatística!

Resposta

67{,}3\%

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