Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção de eleitores favoráveis a seu candidato.
a) Determine o tamanho de amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo 0,01, com probabilidade de 80%.
b) Uma amostra piloto revelou que entre 60 % e 70 % dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. Com base nessa informação, qual deve ser o tamanho de amostra de modo que as condições em (a) estejam satisfeitos?
c) Se na amostra com tamanho igual ao obtido em (a), observou-se que 55% dos eleitores eram favoráveis ao candidato, construa um intervalo de confiança para a proporção de eleitores do candidato com coeficiente de confiança de 0,95

Passo 1

O enunciado trata da estimação da proporção p de eleitores favoráveis a um candidato. Queremos:
  1. (a) determinar n de modo que
Pl(|hat p - p|<= 0,01r)=0,80,
usar a aproximação normal pela CLT;
2. (b) repetir o cálculo de n sabendo que p está entre 0,60 e 0,70;
3. (c) construir um intervalo de confiança de 95% para p quando hat p=0,55 e n obtido em (a).

Passo 2

Para (a) usamos
Pl(|hat p-p|<= Er)=0,80 Longrightarrow E = z0,9,raizp(1-p)n,
onde z0,9 satisfaz P(|Z|<= z0.9)=0,80, logo z0,9approx1,2816, e E=0,01.
Assim,
n >= p(1-p),(z0,9)^2E^2
No pior caso p(1-p) é máximo em p=0,5, dando
n >= 0,5cdot0,5;(1,2816)^2(0,01)^2 =0,25;1,6429times10^41 approx4107,2
Arredondando para cima, n=4108.

Passo 3

Para (b) restringimos pin[0,60,0,70]. A função p(1-p) é máxima em p=0,60, valendo 0,60cdot0,40=0,24. Logo
n >= 0,24;(1,2816)^2(0,01)^2 approx3942,9
Arredondando, n=3943.

Passo 4

Na amostra de tamanho n=4108 observou-se hat p=0,55. Para nível de confiança 0,95 usamos z0,975=1,96 e montamos
mar>=m = 1,96;raiz0,55cdot0,454108 approx1,96cdot0,00776 approx0,0152
O intervalo de confiança é
l[,0,55-0,0152,;0,55+0,0152,r] =l[,0,5348,;0,5652,r]

Resposta

a) n=4108
b) n=3943
c) [,0,5348,;0,5652,]

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