(2 x+1)(x^2+x+1) <= 0

Passo 1

O exercício pede para resolver a inequação
(2x+1)(x^2+x+1)<=0
O conteúdo é inequação polinomial envolvendo o produto de dois fatores. A estratégia será encontrar as raízes de cada fator e fazer o estudo de sinal para determinar onde o produto é não positivo.

Passo 2

Encontrar as raízes de cada fator:
Para 2x+1=0 temos
x=-tfrac12
Para x^2+x+1=0 o discriminante é
De<a = 1 - 4 = -3 < 0,
portanto essa quadrática não tem raízes reais e, sendo o coeficiente de x^2 positivo, vale que
x^2+x+1>0para todo xinR

Passo 3

Como x^2+x+1 é sempre positivo, o sinal do produto (2x+1)(x^2+x+1) coincide com o sinal de 2x+1. Observamos que
2x+1<0Long<=ftrightarrow x<-tfrac12,
e
2x+1=0em x=-tfrac12

Passo 4

Para que
(2x+1)(x^2+x+1)<=0
é necessário e suficiente que 2x+1<=0, ou seja
x<= -tfrac12

Resposta

A solução da inequação é
(-infty, -tfrac12]

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