Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \theta)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty sin(ntheta)n^2
Aqui o conteúdo é séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da comparação para convergência absoluta (já que sin(ntheta) é limitado).

Passo 2

Lembramos que a série p-série
sumn=1^infty 1n^2
converge, pois tem p=2>1.

Passo 3

Para todo n vale
|sin(ntheta)n^2|<=1n^2
Como sumn=1^infty1/n^2 converge, pelo teste da comparação temos que
sumn=1^infty|sin(ntheta)n^2|
converge. Logo a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge) para todo theta.

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