Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \theta)}{n^{2}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}(n \theta)}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Aqui o conteúdo é séries numéricas e, em particular, vamos usar o teste da comparação para convergência absoluta (já que
é limitado).
Passo 2
Lembramos que a série p-série
converge, pois tem
.
Passo 3
Para todo
vale
Como
sumn=1^infty1/n^2 converge, pelo teste da comparação temos que
converge. Logo a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente (e, portanto, converge) para todo
theta .