Uma companhia assegura que o mercado para seu produto X tem uma aceitação de iguais proporções na cidade A que na cidade B. Um especialista no mercado coloca em dúvida dita afirmação e para esse fim se considerou uma amostra aleatória de 500 amas de lar na cidade A e encontrou que 59,6% das mesmas preferiam o produto X. Por outra parte se considerou uma amostra aleatória de 300 amas de lar na cidade B e encontrou que 50 % das mesmas preferiam o produto X. Existe uma diferencia real entre as duas cidades? Use o nível de significação 5%.

Passo 1

O enunciado pede comparar as proporções de preferência pelo produto X em duas cidades (A e B) usando nível de significação de 5%. Isto é um teste de hipóteses para diferença de duas proporções. Vamos precisar das seguintes quantidades:
;n1=500, ;p1=0,596 (cidade A);
;n2=300, ;p2=0,50 (cidade B).

Passo 2

Formulamos as hipóteses nulas e alternativas:
H0:;p1 = p2
H1:;p1 neq p2
ou seja, sob H0 não há diferença real entre as proporções de A e B.

Passo 3

Como H0 supõe p1=p2, calculamos a proporção combinada (pooled)
hat p = x1 + x2n1 + n2
onde x1 = n1 p1 = 500cdot0,596 = 298 e x2 = n2 p2 = 300cdot0,50 = 150.
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hat p = 298 + 150500 + 300 = 448800 = 0,56

Passo 4

Calculamos o erro padrão da diferença de proporções sob H0:
SE = raizhat p,(1-hat p),l(1n1 + 1n2r) = raiz0,56cdot0,44;l(1500+1300r) approx 0,03625
A estatística z é
z = p1 - p2SE = 0,596 - 0,500,03625 approx 2,65

Passo 5

Para alpha=0,05 em teste bilateral, o valor crítico é z0,975=1,96. Como lvert zrvert = 2,65 > 1,96, rejeitamos H0.

Resposta

Rejeita-se H0 ao nível de 5%. Há evidência estatística de diferença real entre as proporções de preferência nas cidades A e B.

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