Antes de uma eleição, um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que 70 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 90 \%.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a, observou-se que 50 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo com confiança 90 \% para p.
c) A semi-amplitude do intervalo anterior é maior, menor ou igual a 0,01 ? Comente.

Passo 1

O enunciado trata da estimação de uma proporção populacional p a partir de amostra piloto de tamanho 50, que deu \hat p_0=0,70. Queremos (a) escolher o tamanho n de modo que
P\bigl(|\hat p - p|\le 0,01\bigr)\ge 0,90,
usando a aproximação normal; (b) com esse n, obter o intervalo de confiança de 90 % quando na amostra final se observa \hat p=0,50; (c) comparar a semi-amplitude desse intervalo com 0,01.

Passo 2

Pela aproximação normal,
\hat p\sim \mathcal{N}\bigl(p,\;p(1-p)/n\bigr)
para n grande. Para garantir
P\bigl(|\hat p - p|\le E\bigr)=0,90
num intervalo bilateral, usamos z_{1-\alpha/2} com \alpha=0,10, isto é z_{0,95}=1,645. Assim queremos
1,645\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le E=0,01.
Isolando n vem
n\ge \frac{(1,645)^2\,p(1-p)}{0,01^2}.

Passo 3

Substituindo p\approx\hat p_0=0,70 e 1-p=0,30:
n\ge \frac{1,645^2\cdot0,70\cdot0,30}{0,01^2} = \frac{2,706\cdot0,21}{0,0001} =5682{,}6.
Arredondando para cima,
n=5683.

Passo 4

Na amostra final com n=5683 e observando \hat p=0,50, o intervalo de confiança de 90 % é
\hat p \pm z_{0,95}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} =0,50\pm 1,645\sqrt{\frac{0,5\cdot0,5}{5683}}.

Passo 5

Calculando a semi-amplitude:
E' = 1,645\sqrt{\frac{0,25}{5683}} \approx 1,645\times0,006639 \approx0,01092.
Logo o intervalo é aproximadamente
\bigl[0,50-0,01092,\;0,50+0,01092\bigr] =(0,48908,\;0,51092).

Passo 6

A semi-amplitude E'\approx0,01092 é maior que o desejado 0,01. Isso ocorre porque o erro foi calculado inicialmente com p(1-p) usando \hat p_0=0,70; para \hat p=0,50 a variância amostral é maior, elevando o erro.

Resposta

(a) n=5683.
(b) Intervalo de 90 %: \bigl(0,4891,\;0,5109\bigr) (aprox.).
(c) A semi-amplitude \approx0,01092 é maior que 0,01.

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