Antes de uma eleição, um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a, observou-se que
dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo com confiança
para p.
c) A semi-amplitude do intervalo anterior é maior, menor ou igual a 0,01 ? Comente.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a, observou-se que
c) A semi-amplitude do intervalo anterior é maior, menor ou igual a 0,01 ? Comente.
Passo 1
O enunciado trata da estimação de uma proporção populacional
a partir de amostra piloto de tamanho 50, que deu
. Queremos (a) escolher o tamanho
de modo que
usando a aproximação normal; (b) com esse
, obter o intervalo de confiança de 90 % quando na amostra final se observa
; (c) comparar a semi-amplitude desse intervalo com 0,01.
Passo 2
Pela aproximação normal,
para
grande. Para garantir
num intervalo bilateral, usamos
com
, isto é
. Assim queremos
Isolando
vem
Passo 3
Substituindo
e
:
Arredondando para cima,
Passo 4
Na amostra final com
e observando
, o intervalo de confiança de 90 % é
Passo 5
Calculando a semi-amplitude:
Logo o intervalo é aproximadamente
Passo 6
A semi-amplitude
é maior que o desejado
. Isso ocorre porque o erro foi calculado inicialmente com
usando
; para
a variância amostral é maior, elevando o erro.
Resposta
(a)
.
(b) Intervalo de 90 %: (aprox.).
(c) A semi-amplitude é maior que
.
(b) Intervalo de 90 %:
(c) A semi-amplitude