Questâo 3 ( 3,5 pontos) - Sejam
e
varáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
demonstrar que
assim definida ê, de fato, uma funçâo desnidade de probabilidades
ie Y sâo variaveis aleatórias independentes? Justifique
Calcular
Calcular
ie Y sâo variaveis aleatórias independentes? Justifique
Calcular
Calcular
Passo 1
O enunciado dá a fdp conjunta
e zero caso contrário.
Precisamos mostrar que
Precisamos mostrar que
-
(validar densidade), - verificar se
(independência), - obter a densidade condicional
, - calcular
.
Passo 2
Validar que
integra 1:
Passo 3
Calcular as marginais:
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Testar independência: se fossem independentes, teríamos
,
mas isso não coincide com . Logo,
e
não são independentes.
mas isso não coincide com
Passo 5
A densidade condicional de
dado
é
Passo 6
Calcular
:
Resposta
(a) A integral dupla vale 1, logo
é fdp válida.
(b) e
não são independentes.
(c) para
.
(d) .
(b)
(c)
(d)