Questâo 3 ( 3,5 pontos) - Sejam X e Y varáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
\begin{array}{ll} f(x, y)=10 x y^{2} & \text { para } 0<x<y<1 \\\ f(x, y)=0 & \text { para outros valores } \end{array}
demonstrar que f(x, y) assim definida ê, de fato, uma funçâo desnidade de probabilidades
ie Y sâo variaveis aleatórias independentes? Justifique
Calcular h(y \mid x)
Calcular P(Y>1 / 2 \mid Y=1 / 2)

Passo 1

O enunciado dá a fdp conjunta
f(x,y)=10\,x\,y^{2}\quad\text{para }0<x<y<1,
e zero caso contrário.
Precisamos mostrar que
  1. \displaystyle\iint f(x,y)\,dx\,dy=1 (validar densidade),
  2. verificar se f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y) (independência),
  3. obter a densidade condicional h(y\mid x),
  4. calcular \displaystyle P\bigl(Y>\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr).

Passo 2

Validar que \,f integra 1:
\iint_{0<x<y<1}10\,x\,y^{2}\,dx\,dy =\int_{y=0}^{1}\Bigl[\int_{x=0}^{y}10\,x\,y^{2}\,dx\Bigr]dy =\int_{0}^{1}10\,y^{2}\,\frac{y^{2}}{2}\,dy =\int_{0}^{1}5\,y^{4}\,dy =5\cdot\frac{1}{5}=1.

Passo 3

Calcular as marginais:
Para f_X(x):
f_X(x)=\int_{y=x}^{1}10\,x\,y^{2}\,dy =10\,x\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{y=x}^{1} =\frac{10}{3}\,x\,(1-x^{3}),\quad 0<x<1.
Para f_Y(y):
f_Y(y)=\int_{x=0}^{y}10\,x\,y^{2}\,dx =10\,y^{2}\Bigl[\frac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{y} =5\,y^{4},\quad 0<y<1.

Passo 4

Testar independência: se fossem independentes, teríamos
\displaystyle f(x,y)\stackrel{?}{=}f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{10}{3}x(1-x^3)\cdot5y^4 =\frac{50}{3}\,x\,y^{4}(1-x^{3}),
mas isso não coincide com 10\,x\,y^{2}. Logo, X e Y não são independentes.

Passo 5

A densidade condicional de Y dado X=x é
h(y\mid x) =\frac{f(x,y)}{f_X(x)} =\frac{10\,x\,y^{2}}{\tfrac{10}{3}x(1-x^{3})} =\frac{3\,y^{2}}{1-x^{3}}, \quad x<y<1.

Passo 6

Calcular \displaystyle P\bigl(Y>\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr):
P\bigl(Y>\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr) =\int_{y=1/2}^{1}h\bigl(y\mid \tfrac12\bigr)\,dy =\int_{1/2}^{1}\frac{3\,y^{2}}{1-(\tfrac12)^{3}}\,dy =\int_{1/2}^{1}\frac{3\,y^{2}}{1-\tfrac18}\,dy =\frac{3}{7/8}\int_{1/2}^{1}y^{2}\,dy =\frac{24}{7}\Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{1/2}^{1} =\frac{8}{7}\Bigl(1-\tfrac18\Bigr) =1.

Resposta

(a) A integral dupla vale 1, logo f é fdp válida.
(b) X e Y não são independentes.
(c) \displaystyle h(y\mid x)=\frac{3\,y^{2}}{1-x^{3}} para x<y<1.
(d) \displaystyle P\bigl(Y>\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr)=1.

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