Questão 1 (3,0 pontos) Seja \mathbf{X} uma variável aleatória com \mathrm{fdp} \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{e}^{-4}. Seja Y uma outra v.a. dada por \mathbf{Y}=\mathbf{3} \mathbf{X}^{\mathbf{3}}. Caracterizar a \mathbf{Y}.

Passo 1

O enunciado define uma v.a. X com distribuição exponencial de parâmetro \lambda=4, isto é,
f_{X}(x)=4\,e^{-4x},\quad x\ge0,
e a v.a. transformada
Y=3\,X^{3}.
Queremos encontrar a função densidade de Y usando a mudança de variável.

Passo 2

Observe que a função de transformação
y=g(x)=3\,x^{3}
é estritamente crescente em x\ge0. Sua inversa é
x=g^{-1}(y)=\bigl(y/3\bigr)^{1/3},\quad y\ge0.

Passo 3

Calculamos a derivada da inversa para aplicar a fórmula de mudança de variável:
\frac{dx}{dy} =\frac{d}{dy}\bigl(y/3\bigr)^{1/3} =\tfrac{1}{3}\bigl(y/3\bigr)^{-2/3}\cdot\tfrac{1}{3} =3^{-4/3}\,y^{-2/3}.

Passo 4

A densidade de Y é dada por
f_{Y}(y) =f_{X}\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\frac{dx}{dy}\Bigr|.
Substituindo x=(y/3)^{1/3} e \tfrac{dx}{dy}=3^{-4/3}y^{-2/3}, obtemos para y\ge0:
f_{Y}(y) =4\exp\!\bigl(-4\,(y/3)^{1/3}\bigr)\;\times\;3^{-4/3}\,y^{-2/3} =\frac{4}{3^{4/3}}\,y^{-2/3}\,\exp\!\bigl(-4\,(y/3)^{1/3}\bigr).

Resposta

A função densidade de Y é
f_{Y}(y)= \begin{cases} \dfrac{4}{3^{4/3}}\,y^{-2/3}\,\exp\!\bigl(-4\,(y/3)^{1/3}\bigr),&y\ge0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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