Questão 1 (3,0 pontos) Seja \mathbf{X} uma variável aleatória com \mathrm{fdp} \mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{e}^{-4}. Seja Y uma outra v.a. dada por \mathbf{Y}=\mathbf{3} \mathbf{X}^{\mathbf{3}}. Caracterizar a \mathbf{Y}.
Passo 1
O enunciado define uma v.a. X com distribuição exponencial de parâmetro \lambda=4, isto é,
f_{X}(x)=4\,e^{-4x},\quad x\ge0,
e a v.a. transformada
Y=3\,X^{3}.
Queremos encontrar a função densidade de Y usando a mudança de variável.
Passo 2
Observe que a função de transformação
y=g(x)=3\,x^{3}
é estritamente crescente em x\ge0. Sua inversa é
x=g^{-1}(y)=\bigl(y/3\bigr)^{1/3},\quad y\ge0.
Passo 3
Calculamos a derivada da inversa para aplicar a fórmula de mudança de variável: