Questão 2 (3,5 pontos) Sejam X e Y variáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
a) demonstrar que
assim definida é, de fato, uma função desnidade de probabilidades
b) Xe Y são vanaveis aleatórias independentes? Justifique
c) Calcular
d) Calcular
b) Xe Y são vanaveis aleatórias independentes? Justifique
c) Calcular
d) Calcular
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta
e pede:
– (a) mostrar que integra 1 no domínio;
– (b) verificar se e
são independentes;
– (c) achar a densidade condicional de dado
,
;
– (d) calcular .
– (a) mostrar que integra 1 no domínio;
– (b) verificar se
– (c) achar a densidade condicional de
– (d) calcular
Passo 2
Para (a), integrar
sobre
:
Como
vem
Logo,
é de fato uma densidade.
Passo 3
Para (b) achamos as marginais:
Repare que
portanto
e
são independentes.
Passo 4
Para (c), a densidade condicional de
dado
é
Passo 5
Para (d), como são independentes, a condicional de
dado
é igual à marginal de
:
Assim
Calculando
logo
Resposta
(a)
.
(b) Sim, pois .
(c) .
(d)
(b) Sim, pois
(c)
(d)