Questão 2 (3,5 pontos) Sejam X e Y variáveis aleatórias com fdp conjunta dada por:
\begin{array}{ll} \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{x}\left(\mathbf{1}+3 \mathbf{y}^{2}\right) / \mathbf{4}, & \text { para } \mathbf{0}<\mathbf{x}<\mathbf{2}, \mathbf{0}<\mathbf{y}<\mathbf{1} \\\ \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathbf{0} & \text { para outros valores } \end{array}
a) demonstrar que \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) assim definida é, de fato, uma função desnidade de probabilidades
b) Xe Y são vanaveis aleatórias independentes? Justifique
c) Calcular g(\mathbf{x} / \mathbf{y})
d) Calcular \mathrm{P}(1 / 4<\mathrm{Y}<1 / 2 \mid \mathrm{X}=1 / 2)

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=\frac{x\,(1+3y^2)}{4},\quad 0<x<2,\;0<y<1,
e pede:
– (a) mostrar que integra 1 no domínio;
– (b) verificar se X e Y são independentes;
– (c) achar a densidade condicional de X dado Y, g(x\mid y);
– (d) calcular \displaystyle P\bigl(\tfrac14<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr).

Passo 2

Para (a), integrar f(x,y) sobre 0<x<2,\;0<y<1:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{1}\frac{x\,(1+3y^2)}{4}\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\frac{x}{4}\Bigl[\int_{0}^{1}(1+3y^2)\,dy\Bigr]dx.
Como
\int_{0}^{1}(1+3y^2)\,dy =\Bigl[y+y^3\Bigr]_{0}^{1} =1+1=2,
vem
\int_{0}^{2}\frac{x}{4}\cdot2\,dx =\frac12\int_{0}^{2}x\,dx =\frac12\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac12\cdot\frac{4}{2} =1.
Logo, f(x,y) é de fato uma densidade.

Passo 3

Para (b) achamos as marginais:
f_X(x) =\int_{0}^{1} \frac{x\,(1+3y^2)}{4}\,dy =\frac{x}{4}\cdot2 =\frac{x}{2},\quad 0<x<2,
f_Y(y) =\int_{0}^{2}\frac{x\,(1+3y^2)}{4}\,dx =\frac{1+3y^2}{4}\cdot\Bigl[\frac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1+3y^2}{4}\cdot2 =\frac{1+3y^2}{2},\quad 0<y<1.
Repare que
f_X(x)\,f_Y(y) =\frac{x}{2}\cdot\frac{1+3y^2}{2} =\frac{x\,(1+3y^2)}{4} =f(x,y),
portanto X e Y são independentes.

Passo 4

Para (c), a densidade condicional de X dado Y=y é
g(x\mid y) =f_{X\mid Y}(x\mid y) =\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{\frac{x\,(1+3y^2)}{4}}{\frac{1+3y^2}{2}} =\frac{x}{2},\quad 0<x<2.

Passo 5

Para (d), como são independentes, a condicional de Y dado X=\tfrac12 é igual à marginal de Y:
f_{Y\mid X}\bigl(y\mid\tfrac12\bigr) =f_Y(y) =\frac{1+3y^2}{2},\quad 0<y<1.
Assim
P\Bigl(\tfrac14<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac12\Bigr) =\int_{1/4}^{1/2}\frac{1+3y^2}{2}\,dy =\frac12\Bigl[y+y^3\Bigr]_{1/4}^{1/2} =\frac{(1/2+1/8)-(1/4+1/64)}{2}.
Calculando
\frac{1/2+1/8}{2}=\frac{5/8}{2}=\frac{5}{16}, \quad \frac{1/4+1/64}{2}=\frac{17/64}{2}=\frac{17}{128},
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P=\frac{5}{16}-\frac{17}{128} =\frac{40-17}{128} =\frac{23}{128}.

Resposta

(a) \displaystyle\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx=1.
(b) Sim, pois f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y).
(c) \displaystyle g(x\mid y)=\frac{x}{2},\;0<x<2.
(d) \displaystyle P\bigl(\tfrac14<Y<\tfrac12\mid X=\tfrac12\bigr)=\frac{23}{128}.

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