Antomar produz semanalmente doce de leite em sua fazenda e vende, cada embalagem, a um preço unitário de \mathrm{R} \ 13,00 , obtendo uma receitaR(x)=13 x . Estima-se que o custo total\mathrm{C}(\mathrm{x}) para produzir e vender x unidades é dado poréC(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x+2 . Sabe-se que o lucro total, semanalmente, é dado poréL(x)=R(x)-C(x) , em queL(x) é o lucro total,éR(x) é a receita total eéC(x)$ é o custo total da produção. Suponha que toda produção seja vendida para os professores do IFET, determine:
a) A quantidade x que deverá ser produzida para se ter lucro máximo.
b) O lucro máximo do Antomar com a venda de doces.

Passo 1

O enunciado dá a receita total semanal
R(x)=13x
e o custo total
C(x)=x^{3}-3x^{2}+4x+2.
O lucro total é
L(x)=R(x)-C(x).
Precisamos encontrar o x que maximiza L(x) usando derivadas (otimização de função) e depois calcular esse lucro máximo.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente L(x). Substituindo R(x) e C(x):
L(x)=13x - \bigl(x^{3}-3x^{2}+4x+2\bigr) =-x^{3}+3x^{2}+9x-2.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada L'(x) e igualamos a zero:
L'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{3}+3x^{2}+9x-2\bigr) =-3x^{2}+6x+9.
Igualando a zero,
-3x^{2}+6x+9=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-2x-3=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\{3,\,-1\}.
Como x representa quantidade produzida, descartamos x=-1, ficando x=3.

Passo 4

Para confirmar que x=3 é máximo, usamos a segunda derivada:
L''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-3x^{2}+6x+9\bigr)=-6x+6,
então
L''(3)=-6\cdot3+6=-12<0,
o que garante máximo em x=3.

Passo 5

Finalmente, calculamos o lucro máximo:
L(3)=-3^{3}+3\cdot3^{2}+9\cdot3-2 =-27+27+27-2=25.

Resposta

a) A produção ideal é x=3 unidades.
b) O lucro máximo é \mathrm{R}\$\,25{,}00.

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