Antomar produz semanalmente doce de leite em sua fazenda e vende, cada embalagem, a um preço unitário de
13,00
R(x)=13 x
\mathrm{C}(\mathrm{x})
C(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x+2
L(x)=R(x)-C(x)
L(x)
R(x)
C(x)$ é o custo total da produção. Suponha que toda produção seja vendida para os professores do IFET, determine:
a) A quantidade x que deverá ser produzida para se ter lucro máximo.
b) O lucro máximo do Antomar com a venda de doces.
a) A quantidade x que deverá ser produzida para se ter lucro máximo.
b) O lucro máximo do Antomar com a venda de doces.
Passo 1
O enunciado dá a receita total semanal
e o custo total
O lucro total é
Precisamos encontrar o
que maximiza
usando derivadas (otimização de função) e depois calcular esse lucro máximo.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
. Substituindo
e
:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Igualando a zero,
Como
representa quantidade produzida, descartamos
, ficando
.
Passo 4
Para confirmar que
é máximo, usamos a segunda derivada:
então
o que garante máximo em
.
Passo 5
Finalmente, calculamos o lucro máximo:
Resposta
a) A produção ideal é
unidades.
b) O lucro máximo é .
b) O lucro máximo é