Gabriela pensando em seu futuro, resolveu investir suas economias em ações da Petrobrás. O preço de uma ação da Petrobrás na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido após sua compra, é dado por:
, onde t é dado em anos e
reais. Determine a melhor ocasião (após a compra) para a Gabriela vender suas ações e ter um bom lucro.
Passo 1
O enunciado nos dá o preço de uma ação da Petrobrás em função do tempo após a compra
e pergunta em que instante
esse preço atinge seu valor máximo, ou seja, quando Gabriela deve vender para ter o maior lucro. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivada e otimização de funções.
Passo 2
Para achar o máximo de
, observamos que o termo constante
não afeta onde ocorre o máximo, pois ele só desloca o gráfico verticalmente. Assim, definimos
e vamos encontrar o ponto crítico de
derivando-a e igualando a zero.
Passo 3
Aplicamos a regra do quociente para derivar
A derivada é
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, fazemos
. O numerador vale zero quando
ou seja,
(não serve, pois
) ou
, de onde
Analisando o sinal de
, vemos que ela é positiva para
e negativa para
, então
é um máximo.
Passo 5
Calculamos o preço nesse instante:
Logo, aos
anos o preço atinge seu valor máximo de R$
.
Resposta
A melhor ocasião para vender é
anos após a compra, quando o preço vale R$
.