Gabriela pensando em seu futuro, resolveu investir suas economias em ações da Petrobrás. O preço de uma ação da Petrobrás na Bolsa de Valores, em função do tempo t decorrido após sua compra, é dado por: P(t)=\frac{160 t}{(4+t)^{2}}+1, \quad t \geq 0, onde t é dado em anos e \mathrm{P}(\mathrm{t}) \mathrm{em} reais. Determine a melhor ocasião (após a compra) para a Gabriela vender suas ações e ter um bom lucro.

Passo 1

O enunciado nos dá o preço de uma ação da Petrobrás em função do tempo após a compra
P(t)=\frac{160\,t}{(4+t)^{2}}+1,\quad t\ge0
e pergunta em que instante t esse preço atinge seu valor máximo, ou seja, quando Gabriela deve vender para ter o maior lucro. O conteúdo que vamos usar é cálculo de derivada e otimização de funções.

Passo 2

Para achar o máximo de P(t), observamos que o termo constante +1 não afeta onde ocorre o máximo, pois ele só desloca o gráfico verticalmente. Assim, definimos
f(t)=\frac{160\,t}{(4+t)^{2}}
e vamos encontrar o ponto crítico de f(t) derivando-a e igualando a zero.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para derivar
f(t)=\frac{160\,t}{(t+4)^{2}}.
A derivada é
f'(t) =\frac{160\,(t+4)^{2}-160\,t\cdot 2\,(t+4)}{(t+4)^{4}} =\frac{160\bigl[(t+4)^{2}-2t(t+4)\bigr]}{(t+4)^{4}} =\frac{160\,(t+4)\,(4-t)}{(t+4)^{4}}.

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, fazemos f'(t)=0. O numerador vale zero quando
(t+4)\,(4-t)=0
ou seja, t+4=0 (não serve, pois t\ge0) ou 4-t=0, de onde
t=4.
Analisando o sinal de f'(t), vemos que ela é positiva para t<4 e negativa para t>4, então t=4 é um máximo.

Passo 5

Calculamos o preço nesse instante:
P(4) = \frac{160 \cdot 4}{(4+4)^{2}} + 1 = \frac{640}{64} + 1 = 10 + 1 = 11.
Logo, aos 4 anos o preço atinge seu valor máximo de R$ 11,00.

Resposta

A melhor ocasião para vender é t=4 anos após a compra, quando o preço vale R$ 11,00.

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