O custo total
da produção de x toneladas de um produto, em reais, é dado por
. Suponha que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida por RS 21,00.
Passo 1
O enunciado dá o custo total da produção de
toneladas como
e informa que cada tonelada é vendida a R$ 21,00. O conteúdo aqui é maximização de lucro via derivadas: primeiro vamos definir receita e lucro, depois achar onde a derivada do lucro se anula e verificar que é máximo.
Passo 2
A receita obtida ao vender
toneladas a R$ 21,00 é
O lucro
é a diferença entre receita e custo, ou seja
Fazendo as contas, obtemos
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por
e depois por
, chega-se a
As raízes dessa quadrática são
Passo 4
Para saber qual dessas soluções dá máximo, usamos a segunda derivada:
Em
,
(mínimo local). Em
,
, logo é máximo local.
Passo 5
Calculamos o lucro em
:
Portanto, produzindo cerca de
toneladas, a empresa obtém o lucro máximo de aproximadamente R$ 945 613,50.
Resposta
O lucro máximo é de aproximadamente R$ 945 613,50, obtido quando se produzem cerca de
toneladas.