O custo total C(x) da produção de x toneladas de um produto, em reais, é dado por C(x)=0,03 x^{3}-18 x^{2}+39 x. Suponha que a empresa possa vender tudo o que produz, determinar o lucro máximo que pode ser obtido, se cada tonelada do produto é vendida por RS 21,00.

Passo 1

O enunciado dá o custo total da produção de x toneladas como
C(x)=0,03\,x^{3}-18\,x^{2}+39\,x
e informa que cada tonelada é vendida a R$ 21,00. O conteúdo aqui é maximização de lucro via derivadas: primeiro vamos definir receita e lucro, depois achar onde a derivada do lucro se anula e verificar que é máximo.

Passo 2

A receita obtida ao vender x toneladas a R$ 21,00 é
R(x)=21\,x.
O lucro \Pi(x) é a diferença entre receita e custo, ou seja
\Pi(x)=R(x)-C(x)=21\,x-\bigl(0,03\,x^{3}-18\,x^{2}+39\,x\bigr).
Fazendo as contas, obtemos
\Pi(x)=-0,03\,x^{3}+18\,x^{2}-18\,x.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada de \Pi(x) e igualamos a zero:
\Pi'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-0,03\,x^{3}+18\,x^{2}-18\,x\bigr) =-0,09\,x^{2}+36\,x-18
-0,09\,x^{2}+36\,x-18=0.
Multiplicando ambos os lados por -1 e depois por 100, chega-se a
9\,x^{2}-3600\,x+1800=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}-400\,x+200=0.
As raízes dessa quadrática são
x=\frac{400\pm\sqrt{400^{2}-4\cdot1\cdot200}}{2} =\frac{400\pm\sqrt{159200}}{2} \approx0{,}50\quad\text{e}\quad399{,}50.

Passo 4

Para saber qual dessas soluções dá máximo, usamos a segunda derivada:
\Pi''(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-0,09\,x^{2}+36\,x-18\bigr) =-0,18\,x+36.
Em x\approx0{,}50, \Pi''(0{,}50)>0 (mínimo local). Em x\approx399{,}50, \Pi''(399{,}50)<0, logo é máximo local.

Passo 5

Calculamos o lucro em x\approx399{,}50:
\Pi(399{,}50) =-0,03\,(399{,}50)^{3}+18\,(399{,}50)^{2}-18\,(399{,}50) \approx945613{,}50.
Portanto, produzindo cerca de 399{,}5 toneladas, a empresa obtém o lucro máximo de aproximadamente R$ 945 613,50.

Resposta

O lucro máximo é de aproximadamente R$ 945 613,50, obtido quando se produzem cerca de 399{,}5 toneladas.

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