Antônia tem 3 moedas na bolsa. Duas delas são honestas. A terceira não é honesta e tem probabilidade 1-p de sair cara. Uma moeda é escolhida ao acaso e lançada, resultando em cara. Qual a probabilidade de ter sido uma das moedas honestas?

Passo 1

O enunciado diz que Antônia tem três moedas na bolsa: duas honestas (cara com probabilidade 12) e uma viciada (cara com probabilidade 1-p). Escolhe-se uma moeda ao acaso e obtém-se cara. O conteúdo é probabilidade condicional e Teorema de Bayes.

Passo 2

Definimos os eventos:
A: “foi escolhida uma moeda honesta”
B: “foi escolhida a moeda viciada”
Temos
P(A)=tfrac23, P(B)=tfrac13,
P(caramid A)=tfrac12, P(caramid B)=1-p

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes,
Pl(Amid carar) = P(caramid A),P(A)P(cara),
onde
P(cara) = P(caramid A),P(A) + P(caramid B),P(B)

Passo 4

Substituindo os valores:
Pl(Amid carar) = tfrac12cdottfrac23tfrac12cdottfrac23+(1-p)cdottfrac13 = tfrac13tfrac13+tfrac1-p3 = 12-p

Resposta

12-p

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