Pode-se jogar na mega-sena marcando de 6 a 15 números num jogo. Considere que a jogada mais modesta (de 6 números) custa 1 u.m. Quanto devem custar cada uma das demais jogadas (com mais de 6 números, isto é: 7,8,910,11,12, 13,14,15) ? No concurso # 1995 da mega-sena, 35 % das apostas foram feitas com jogadas de 6 números; 15 % com 7 ; 15 % com 8 ; 10 % com 9; 9 % com 10; 6 % com 11 ; 4 % com 12 ; 3 % com 13 ; 2 % com 14 e 1 % com 15 . Se houver um único ganhador, qual a chance dessa pessoa ter feito a jogada mais barata?

Passo 1

O enunciado diz que na mega-sena podemos apostar marcando de 6 a 15 números, e que a “aposta mínima” de 6 números custa 1 u.m. Como cada jogo de k números na verdade gera binomk6 combinações distintas de 6 números, o custo deve ser proporcional a esse número de combinações. Depois, com as porcentagens de apostas em cada tipo de jogo, vamos calcular a probabilidade condicional de que, num único ganhador, este tenha feito a jogada de 6 números.

Passo 2

Cada jogo com k números cobre binomk6 bilhetes distintos de 6 números. Como a aposta de 6 números custa 1 u.m. (e binom66=1), o custo de um jogo de k números é
custo(k)=binomk6times 1 um

Passo 3

Calculando binomk6 para k=7,8,dots,15:
bul<=t binom76=7, custo =7 u.m.
bul<=t binom86=28, custo =28 u.m.
bul<=t binom96=84, custo =84 u.m.
bul<=t binom106=210, custo =210 u.m.
bul<=t binom116=462, custo =462 u.m.
bul<=t binom126=924, custo =924 u.m.
bul<=t binom136=1716, custo =1716 u.m.
bul<=t binom146=3003, custo =3003 u.m.
bul<=t binom156=5005, custo =5005 u.m.

Passo 4

Num único sorteio de 6 números, um jogo de k dezenas ganha se o conjunto sorteado estiver contido nos k escolhidos, o que ocorre em binomk6 casos sobre binom606. Seja pk a fração de apostas com k números e ck=binomk6. A probabilidade de que o único ganhador tenha apostado com 6 números é
p6,c6sumk=6^15 pk,ck

Passo 5

Substituindo os valores percentuais p6=0,35, p7=0,15, ···, p15=0,01 e ck do passo 3, calculamos
sumk=6^15 pk , ck = 0,35 cdot 1 + 0,15 cdot 7 + 0,15 cdot 28 + 0,10 cdot 84 + 0,09 cdot 210
+ 0,06 cdot 462 + 0,04 cdot 924 + 0,03 cdot 1716 + 0,02 cdot 3003 + 0,01 cdot 5005 = 259,17
Logo
P(6 números mid único ganhador) = 0,35 cdot 1259,17 approx 0,00135 approx 0,135% úú

Resposta

As apostas de 7 a 15 números devem custar, em u.m.:
7to 7; 8to 28; 9to 84; 10to 210; 11to 462; 12to 924; 13to 1716; 14to 3003; 15to 5005.
A probabilidade de que, tendo havido um único ganhador, ele tenha feito a aposta mínima de 6 números é aproximadamente 0,135%.

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