Antônio pegou os vetores u=[-1,2,3], v=[2,2,-1], w=[4,10,3] e fez a combinação linear
1 u+4 v+(-1) w
Benedita usou os mesmos vetores em outra combinação linear
-1 u+1 v+0 w
Ambos encontraram o vetor [3,0,-4] como resultado de suas combinações lineares. Como explicar esse resultado?
a. [ ] Antônio errou os cálculos.
b. [ ] Benedita errou os cálculos.
c. [ ] Combinações lineares diferentes de vetores em R^3 sempre podem representar o mesmo vetor.
d. [ ] Antônio ou Benedita teria errado os cálculos se os vetores fossem L.I.
e. [ ] Nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=[-1,2,3], v=[2,2,-1], w=[4,10,3]
e duas combinações lineares distintas que resultam no mesmo vetor [3,0,-4]. O conteúdo aqui é unicidade de representação de um vetor por combinação linear e sua relação com dependência ou independência linear dos geradores.

Passo 2

Para verificar se há não unicidade de representação, buscamos uma relação linear não trivial entre u,v,w. Suponha coeficientes a,b,c tais que
a,u + b,v + c,w = 0
Testando (a,b,c)=(2,3,-1), temos
2u+3v-1w =2[-1,2,3]+3[2,2,-1]-[4,10,3] =[-2,4,6]+[6,6,-3]-[4,10,3] =[0,0,0]

Passo 3

Achamos uma combinação não trivial 2u+3v-w=0, ou seja, u,v,w são linearmente dependentes. Em sistemas gerados por vetores L.D., diferentes conjuntos de coeficientes podem produzir o mesmo vetor, pois a representação não é única.

Passo 4

A opção que traduz corretamente isso é que, se u,v,w fossem L.I., qualquer vetor teria representação única e uma das combinações estaria errada. Logo:

Resposta

(d) Antônio ou Benedita teria errado os cálculos se os vetores fossem L.I.

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