Antônio pegou os vetores
e fez a combinação linear
Benedita usou os mesmos vetores em outra combinação linear
Ambos encontraram o vetor
como resultado de suas combinações lineares. Como explicar esse resultado?
a. [ ] Antônio errou os cálculos.
b. [ ] Benedita errou os cálculos.
c. [ ] Combinações lineares diferentes de vetores em
sempre podem representar o mesmo vetor.
d. [ ] Antônio ou Benedita teria errado os cálculos se os vetores fossem L.I.
e. [ ] Nenhuma das anteriores.
a. [ ] Antônio errou os cálculos.
b. [ ] Benedita errou os cálculos.
c. [ ] Combinações lineares diferentes de vetores em
d. [ ] Antônio ou Benedita teria errado os cálculos se os vetores fossem L.I.
e. [ ] Nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
:
e duas combinações lineares distintas que resultam no mesmo vetor
. O conteúdo aqui é unicidade de representação de um vetor por combinação linear e sua relação com dependência ou independência linear dos geradores.
Passo 2
Para verificar se há não unicidade de representação, buscamos uma relação linear não trivial entre
. Suponha coeficientes
tais que
Testando
, temos
Passo 3
Achamos uma combinação não trivial
, ou seja,
são linearmente dependentes. Em sistemas gerados por vetores L.D., diferentes conjuntos de coeficientes podem produzir o mesmo vetor, pois a representação não é única.
Passo 4
A opção que traduz corretamente isso é que, se
fossem L.I., qualquer vetor teria representação única e uma das combinações estaria errada. Logo:
Resposta
(d) Antônio ou Benedita teria errado os cálculos se os vetores fossem L.I.