Para quais valores de e a matriz não é diagonalizável?
a.[ ] a>c
b.[ ] b=0
c.[ ] a=c e b neq 0
d.[ ] a<c
e.[ ] não sei
Passo 1
O enunciado dá uma matriz triangular superior
A = a & b [6pt] 0 & c
e pergunta para quais valores de a, b e c essa matriz não é diagonalizável. O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores: uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (número de autovetores independentes) for igual à multiplicidade algébrica (multiplicidade como raiz do polinômio característico).]
Passo 2
Vamos achar os autovalores de A. Como A é triangular superior, seus autovalores são exatamente as entradas da diagonal:
lambda1 = a, lambda2 = c
Cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1 se a neq c, ou 2 se a = c.
Passo 3
Se a neq c, os autovalores são distintos e cada um tem multiplicidade algébrica 1. Nessa situação, para cada autovalor há sempre um autovetor independente, logo a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, e A é diagonalizável para qualquer valor de b.
Passo 4
O único caso em que pode faltar autovetores é quando . Então tem um único autovalor com multiplicidade algébrica . Para verificar a multiplicidade geométrica, resolvemos
Isso dá a equação .
Se , então e só sobra uma variável livre , ou seja, a dimensão do espaço de autovetores é < , e falta um autovetor para diagonalizar.
Se , a matriz é (já é diagonal) e tem dois autovetores independentes.]