Decida quais conjuntos abaixo são partes fechadas de Z para a operação de adição usual?
(a) Z-
(b) P=x in Z mid x é par .
(d) J=x in Z mid x é primo .
(c) I=x in Z mid x é ímpar .
(e) K=x in Z mid mcd(x, 10)=1.
(f) L=x in Z mid x=3 q+1, q in Z.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quais dos subconjuntos
Z-,
P=xinZmid x é paré,
I=xinZmid x é ímparéí,
J=xinZmid x é primoé,
K=xinZmid gcd(x,10)=1 e
L=xinZmid x=3q+1,;qinZ
são fechados para a operação de adição em Z.
Conteúdo: definição de subconjunto fechado sob uma operação binária:
um HsubseteqZ é fechado se, para quaisquer x,yin H, vale x+yin H.

Passo 2

Verificamos Z-=xinZmid x<0.
Sejam x,y<0. Então x+y<0+0=0, logo x+yinZ-.
Portanto Z- é fechado.

Passo 3

Verificamos P=xinZmid x é paré.
Se x=2k e y=2ell, então
x+y=2k+2ell=2(k+ell),
que é par. Logo x+yin P e P é fechado.

Passo 4

Verificamos I=xinZmid x é ímparéí.
Se x=2k+1 e y=2ell+1, então
x+y=(2k+1)+(2ell+1)=2(k+ell+1),
que é par, logo não pertence a I. Assim I não é fechado.

Passo 5

Verificamos J=xinZmid x é primoé.
Por exemplo, 3 e 5 são primos em J, mas
3+5=8,
que não é primo. Logo J não é fechado.

Passo 6

Verificamos K=xinZmid gcd(x,10)=1.
Tomemos x=1 e y=3 em K.
1+3=4,
mas gcd(4,10)=2neq1. Logo K não é fechado.

Passo 7

Verificamos L=xinZmid xequiv1pmod3.
Se xequiv1 e yequiv1pmod3, então
x+yequiv1+1equiv2pmod3,
portanto x+ynotequiv1pmod3. Logo L não é fechado.

Resposta

Os únicos fechados para adição em Z são
(a) Z-
(b) P

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