Decida quais conjuntos abaixo são partes fechadas de
para a operação de adição usual?
(a)
(b)
é par
.
(d)
é primo
.
(c)
é ímpar
.
(e)
.
(f)
.
(a)
(b)
(d)
(c)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para determinar quais dos subconjuntos
,
,
,
,
e
são fechados para a operação de adição em .
Conteúdo: definição de subconjunto fechado sob uma operação binária:
um é fechado se, para quaisquer
, vale
.
são fechados para a operação de adição em
Conteúdo: definição de subconjunto fechado sob uma operação binária:
um
Passo 2
Verificamos
.
Sejam . Então
, logo
.
Portanto é fechado.
Sejam
Portanto
Passo 3
Verificamos
.
Se e
, então
Se
que é par. Logo
e
é fechado.
Passo 4
Verificamos
.
Se e
, então
Se
que é par, logo não pertence a
. Assim
não é fechado.
Passo 5
Verificamos
.
Por exemplo, e
são primos em
, mas
Por exemplo,
que não é primo. Logo
não é fechado.
Passo 6
Verificamos
.
Tomemos e
em
.
Tomemos
mas
. Logo
não é fechado.
Passo 7
Verificamos
.
Se e
, então
Se
portanto
. Logo
não é fechado.
Resposta
Os únicos fechados para adição em
são
(a)
(b)
(a)
(b)