O conjunto de G todas as combinações lineares feitas com os vetores u=[-1,2,3,0] e v=[2,2,0,1] é chamado de subespaço vetorial gerado pelo conjunto u, v. Assinale a alternativa falsa.
a. [ ] O conjunto u, v é L.I.
b. [ ] A soma de dois vetores de G é um vetor de G.
c. [ ] [-8,-2,6,-3] pertence a G.
d. [ ] O conjunto u, v é uma base de G.
e. [ ] [0,3,-2,-6] pode ser escrito como combinação linear de u e v.

Passo 1

O enunciado define G=Spanu,v em R^4, onde
u = [-1,2,3,0], v=[2,2,0,1]
Precisamos identificar qual das afirmações (a)–(e) é falsa. Vamos usar conceitos de subespaço, independência linear, base e resolução de sistemas lineares para verificar cada item.

Passo 2

Verificamos se
isto é,
da última equação vem . Logo só a solução trivial existe, ou seja, é LI. Então (a) é verdadeira.

Passo 3

Como G é um subespaço gerado por u,v, ele é fechado sob soma: para quaisquer w1,w2inG, w1+w2inG. Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Para verificar que
Isto é,
Da terceira equação . Substituindo nas duas primeiras confirma-se e . Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Como u,v é LI e G=Spanu,v, esse conjunto é uma base de G. Portanto (d) é verdadeira.

Passo 6

Tentamos escrever
Da terceira equação . Mas na segunda isso exige . Há contradição, logo não há solução. Portanto (e) é falsa.

Resposta

(e) [0,3,-2,-6] não pode ser escrito como combinação linear de u e v.

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