O conjunto de todas as combinações lineares feitas com os vetores é chamado de subespaço vetorial gerado pelo conjunto . Assinale a alternativa falsa.
a. [ ] O conjunto é L.I.
b. [ ] A soma de dois vetores de é um vetor de .
c. [ ] pertence a .
d. [ ] O conjunto é uma base de .
e. [ ] pode ser escrito como combinação linear de e .
Passo 1
O enunciado define em , onde
Precisamos identificar qual das afirmações (a)–(e) é falsa. Vamos usar conceitos de subespaço, independência linear, base e resolução de sistemas lineares para verificar cada item.
Passo 2
Verificamos se
isto é,
da última equação vem dá . Logo só a solução trivial existe, ou seja, é LI. Então (a) é verdadeira.
Passo 3
Como G é um subespaço gerado por u,v, ele é fechado sob soma: para quaisquer w1,w2inG, w1+w2inG. Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
Para verificar que
Isto é,
Da terceira equação . Substituindo nas duas primeiras confirma-se e . Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
Como u,v é LI e G=Spanu,v, esse conjunto é uma base de G. Portanto (d) é verdadeira.
Passo 6
Tentamos escrever
Da terceira equação . Mas na segunda isso exige . Há contradição, logo não há solução. Portanto (e) é falsa.
Resposta
(e) [0,3,-2,-6]não pode ser escrito como combinação linear de u e v.