Considere a matriz e as afirmações:
I. Os autovalores de M são a, d e f.
II. [1,0,0] sempre será um autovetor de M.
III. Se b=0, então [0,1,0] será um autovetor de M.
a.[ ] Apenas I é verdadeira
b.[ ] Apenas II é verdadeira
c.[ ] Apenas III é verdadeira
d.[ ] Apenas I e II são verdadeiras
e.[ ] Todas são verdadeiras
Passo 1
O enunciado dá uma matriz triangular superior
M = a & b & c 0 & d & e 0 & 0 & f
e pede para avaliar três afirmações sobre autovalores e autovetores. Vamos lembrar que, para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal, e que para checar se um vetor é autovetor basta verificar se Mv é um múltiplo escalar de v.
Passo 2
Para mostrar que os autovalores são a, d e f, usamos que o polinômio característico de uma matriz triangular superior é
det(M - lambda I) =det a-lambda & b & c 0 & d-lambda & e 0 & 0 & f-lambda =(a-lambda)(d-lambda)(f-lambda)
As raízes desse polinômio são lambda=a, lambda=d e lambda=f. Logo, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação II verificamos
M100 = acdot1 + bcdot0 + ccdot0 0 0 =a00 =a100
Portanto l[1,0,0r]^T é sempre autovetor de M associado ao autovalor a. A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Para a afirmação III calculamos
Se , isso fica
mostrando que é autovetor associado a . Logo, a afirmação III também é verdadeira quando .