(IDHTEC - 2019, SANTA CRUZ DA BAIXA VERDE-PE) Sejam a, b, n \in \mathbb{N}, com a+b \neq 0. Temos que a+b é divisor de:
(A) a^{n}+b^{n}.
(B) a^{2 n}+b^{2 n}.
(C) a^{2 n+1}+b^{2 n+1}.
(D) a^{n}-b^{n}.
(E) a^{n}+2 b^{n}.

Passo 1

O enunciado dá que a,b,n\in\mathbb{N} e que a+b\neq 0. Pede-se verificar, dentre as opções abaixo, em qual expressão o número a+b é divisor (ou seja, divide sempre a expressão) — supondo a,b,n arbitrários nas condições dadas:
(A) a^{n}+b^{n}.
(B) a^{2n}+b^{2n}.
(C) a^{2n+1}+b^{2n+1}.
(D) a^{n}-b^{n}.
(E) a^{n}+2b^{n}.
Ou seja: para cada item, devemos decidir se sempre vale que a+b divide a expressão correspondente, para quaisquer a,b,n naturais com a+b\neq0. No passo seguinte começo a resolver e a ensinar a teoria necessária.

Passo 2

Ideia e ferramenta principal (explicação didática). Uma técnica muito útil aqui é fatorar somas ou diferenças de potências usando o teorema do resto / fator para polinômios:
  • Se m é um inteiro positivo ímpar, então a expressão a^{m}+b^{m} é divisível por a+b. Uma maneira de ver isso é considerar o polinômio em x
P(x)=x^{m}+b^{m}.
Se m é ímpar, substituindo x=-b obtém-se P(-b)=(-b)^{m}+b^{m}=-b^{m}+b^{m}=0. Assim, x+b é um fator de P(x). Tomando x=a vem que a+b divide a^{m}+b^{m}.
  • Existe uma forma explícita da fatoração quando m é ímpar:
a^{m}+b^{m}=(a+b)\bigl(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^{2}-\cdots -ab^{m-2}+b^{m-1}\bigr).
Essa expressão tem termos com sinais alternados e tem exatamente m termos no fator do segundo membro. Vou demonstrar essa fatoração por multiplicação e cancelamento no próximo passo (é uma demonstração direta e útil para a prova).
Além disso, para diferença de potências existe a fatoração conhecida (sempre válida):
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +b^{n-1}\bigr).
Isso mostra que a-b sempre divide a^{n}-b^{n}, mas não diz nada automático sobre a+b dividir a^{n}-b^{n} (na maior parte dos casos, não divide).

Passo 3

Demonstração direta da fatoração para a^{m}+b^{m} quando m é ímpar (passo a passo, telescópio):
Considere m ímpar e calcule
(a+b)\bigl(a^{m-1}-a^{m-2}b+a^{m-3}b^{2}-\cdots -ab^{m-2}+b^{m-1}\bigr).
Ao multiplicar, cada produto de a com um termo do segundo fator gera um termo a^{m},-a^{m-1}b,a^{m-2}b^{2},\ldots,-a^{2}b^{m-2},ab^{m-1}. Cada produto de b com um termo do segundo fator gera termos que têm sinais opostos: +a^{m-1}b,-a^{m-2}b^{2},\ldots,+ab^{m-1},-b^{m}. Ao somar linha a linha, todos os termos intermediários cancelam em pares (por exemplo -a^{m-1}b cancela com +a^{m-1}b do outro produto), sobrando apenas:
a^{m}+b^{m}.
Portanto a fatoração está correta e, em particular, a+b é divisor de a^{m}+b^{m} sempre que m for ímpar.
Um exemplo numérico pequeno para ver “ao vivo”: tome m=3. A fatoração diz
a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).
Multiplicando a direita obtém-se a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=a^{3}+b^{3}, como prometido.

Passo 4

Aplique o critério às opções do enunciado:
  • Opção (C): o expoente é 2n+1, que é ímpar (produto e soma de inteiros prova isso: 2n é par e 2n+1 é ímpar). Pelo resultado do passo anterior temos a fatoração
a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\bigl(a^{2n}-a^{2n-1}b+\cdots -ab^{2n-1}+b^{2n}\bigr),
logo a+b divide a^{2n+1}+b^{2n+1} para todos a,b,n nas condições do enunciado. (Essa é a razão teórica e a demonstração já foi feita.)

Passo 5

Para as demais opções, mostro que a divisibilidade não vale em geral, fornecendo contraexemplos numéricos simples (isto é suficiente para provar que a afirmativa “sempre divide” é falsa).
  • Opção (A): a^{n}+b^{n}. Se n for par, a propriedade que usamos para m ímpar não vale. Tome por exemplo a=1, b=2, n=2. Então a+b=3 e
a^{n}+b^{n}=1^{2}+2^{2}=1+4=5,
e 3 não divide 5. Portanto (A) não é sempre verdadeira.

Passo 6

  • Opção (B): a^{2n}+b^{2n}. Aqui o expoente 2n é par, então não podemos aplicar o teorema do passo 3. Um contraexemplo simples: a=1, b=2, n=1. Então a+b=3 e
a^{2n}+b^{2n}=1^{2}+2^{2}=1+4=5,
e 3\nmid 5. Logo (B) não é sempre verdadeira.

Passo 7

  • Opção (D): a^{n}-b^{n}. Como já expliquei, a fatoração clássica é a^{n}-b^{n}=(a-b)(soma de termos), então a-b divide sempre a^{n}-b^{n}, mas não há razão geral para a+b dividir a^{n}-b^{n}. Um contraexemplo simples: a=1, b=2, n=1. Então a+b=3 e
a^{n}-b^{n}=1-2=-1,
e 3\nmid -1. Assim (D) falha em geral.

Passo 8

  • Opção (E): a^{n}+2b^{n}. Não existe uma identidade simples que garanta divisibilidade por a+b para todos a,b,n. Contraexemplo: a=1, b=1, n=1. Então a+b=2 e
a^{n}+2b^{n}=1+2\cdot 1=3,
e 2\nmid 3. Portanto (E) também não é sempre verdadeira.

Passo 9

Resumo do que foi mostrado (sem repetir a resposta final): a fatoração e o argumento do passo 3 garantem a divisibilidade sempre quando o expoente é ímpar. Aplicando isso ao caso 2n+1 (opção C) obtemos a divisibilidade para todos os a,b,n. Para cada uma das outras opções dei um contraexemplo numérico que mostra que a divisibilidade não vale em geral.

Resposta

(C)

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