(IDHTEC - 2019, SANTA CRUZ DA BAIXA VERDE-PE) Sejam
, com
. Temos que
é divisor de:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá que
e que
. Pede-se verificar, dentre as opções abaixo, em qual expressão o número
é divisor (ou seja, divide sempre a expressão) — supondo
arbitrários nas condições dadas:
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
Ou seja: para cada item, devemos decidir se sempre vale que
divide a expressão correspondente, para quaisquer
naturais com
. No passo seguinte começo a resolver e a ensinar a teoria necessária.
Passo 2
Ideia e ferramenta principal (explicação didática). Uma técnica muito útil aqui é fatorar somas ou diferenças de potências usando o teorema do resto / fator para polinômios:
- Se
é um inteiro positivo ímpar, então a expressão é divisível por . Uma maneira de ver isso é considerar o polinômio em
Se
é ímpar, substituindo
obtém-se
. Assim,
é um fator de
. Tomando
vem que
divide
.
- Existe uma forma explícita da fatoração quando
é ímpar:
Essa expressão tem termos com sinais alternados e tem exatamente
termos no fator do segundo membro. Vou demonstrar essa fatoração por multiplicação e cancelamento no próximo passo (é uma demonstração direta e útil para a prova).
Além disso, para diferença de potências existe a fatoração conhecida (sempre válida):
Isso mostra que
sempre divide
, mas não diz nada automático sobre
dividir
(na maior parte dos casos, não divide).
Passo 3
Demonstração direta da fatoração para
quando
é ímpar (passo a passo, telescópio):
Considere
ímpar e calcule
Ao multiplicar, cada produto de
com um termo do segundo fator gera um termo
. Cada produto de
com um termo do segundo fator gera termos que têm sinais opostos:
. Ao somar linha a linha, todos os termos intermediários cancelam em pares (por exemplo
cancela com
do outro produto), sobrando apenas:
Portanto a fatoração está correta e, em particular,
é divisor de
sempre que
for ímpar.
Um exemplo numérico pequeno para ver “ao vivo”: tome
. A fatoração diz
Multiplicando a direita obtém-se
, como prometido.
Passo 4
Aplique o critério às opções do enunciado:
- Opção (C): o expoente é
, que é ímpar (produto e soma de inteiros prova isso: é par e é ímpar). Pelo resultado do passo anterior temos a fatoração
logo
divide
para todos
nas condições do enunciado. (Essa é a razão teórica e a demonstração já foi feita.)
Passo 5
Para as demais opções, mostro que a divisibilidade não vale em geral, fornecendo contraexemplos numéricos simples (isto é suficiente para provar que a afirmativa “sempre divide” é falsa).
- Opção (A):
. Se for par, a propriedade que usamos para ímpar não vale. Tome por exemplo , , . Então e
e
não divide
. Portanto (A) não é sempre verdadeira.
Passo 6
- Opção (B):
. Aqui o expoente é par, então não podemos aplicar o teorema do passo 3. Um contraexemplo simples: , , . Então e
e
. Logo (B) não é sempre verdadeira.
Passo 7
- Opção (D):
. Como já expliquei, a fatoração clássica é (soma de termos), então divide sempre , mas não há razão geral para dividir . Um contraexemplo simples: , , . Então e
e
. Assim (D) falha em geral.
Passo 8
- Opção (E):
. Não existe uma identidade simples que garanta divisibilidade por para todos . Contraexemplo: , , . Então e
e
. Portanto (E) também não é sempre verdadeira.
Passo 9
Resumo do que foi mostrado (sem repetir a resposta final): a fatoração e o argumento do passo 3 garantem a divisibilidade sempre quando o expoente é ímpar. Aplicando isso ao caso
(opção C) obtemos a divisibilidade para todos os
. Para cada uma das outras opções dei um contraexemplo numérico que mostra que a divisibilidade não vale em geral.
Resposta
(C)